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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Do 12.11.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe ein paar Probleme mit dem Basiswechsel.
Erstmal zur Theorie.
In meinem Skript steht folgendes:
$f:V [mm] \to [/mm] V$ Endomorphismus. Wir wollen eine Basis [mm] \{v_i\} [/mm] von V, so dass [mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] besonders einfach wird.
[mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] müsste dabei die Matrix zur linearen Abbildung f sein, mit Basis [mm] \{v_i\} [/mm] im Defintionsbereich von f und Basis [mm] \{v_i\} [/mm] im Wertebereich von f.
Weiter steht da:
Wie verändert sich [mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] wenn man [mm] \{v_i\} [/mm] durch [mm] \{w_i\} [/mm] ersetzt?
[mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}}*M_{id,\{w_i\},\{v_i\}}=M_{f,\{w_i\},\{v_i\}}
[/mm]
[mm] M_{id,\{v_i\},\{w_i\}}*M_{f,\{w_i\},\{v_i\}}=M_{f,\{w_i\},\{w_i\}}
[/mm]
[mm] S:=M_{id,\{v_i\},\{w_i\}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_{f,\{w_i\},\{w_i\}}=S*M_{f,\{v_i\},\{v_i\}}*S^{-1}
[/mm]
Dabei sind die Matrizen S die Übergangsmatrizen.
Also so prinzipiell glaub ich schon zu verstehen, was das ganze im Endeffekt soll: Ich hab eine Matrix [mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] zur linearen Abbildung f zu festen Basen [mm] \{v_i\} [/mm] sowohl im Defintionsbereich als auch im Wertebereich. Und ich möchte aber lieber die Matrix [mm] M_{f,\{w_i\},\{w_i\}}, [/mm] die die gleiche Abbildung f zu anderen Basen beschreibt. Und nun suche ich eine Möglichkeit, [mm] M_{f,\{w_i\},\{w_i\}} [/mm] aus [mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] zu berechnen.
Hab ich das soweit richtig verstanden?
So, nun mal zur ersten Formel:
[mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}}*M_{id,\{w_i\},\{v_i\}}=M_{f,\{w_i\},\{v_i\}}
[/mm]
Ich versuche mal in Worte zu fassen: Ich erhalte die Matrix [mm] M_{f,\{w_i\},\{v_i\}} [/mm] zur linearen Abbildung f bzgl. der festgewählten Basen [mm] \{w_i\} [/mm] im Defintionsbereich und [mm] \{v_i\} [/mm] im Wertebereich, indem ich die Matrix [mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] mit der Übergangsmatrix [mm] M_{id,\{w_i\},\{v_i\}} [/mm] multipliziere.
Und da ich da ja quasi die Basis von f im Definitionsbereich änder, muss ich mit der Übergangsmatrix von rechts multiplizieren, sagte zumindest mal ein Satz in meiner Vorlesung.
Ist das soweit richtig?
Aber ich verstehe nicht, warum die Übergangsmatrix [mm] M_{id,\{w_i\},\{v_i\}} [/mm] so aussieht wie sie aussieht...
Also was ich meine: Wir hatten mal in der Vorlesung gesagt, dass die Übergangsmatrix [mm] M_{id,\{w_i\},\{v_i\}} [/mm] den Übergang von der Basis [mm] \{w_i\} [/mm] zur Basis [mm] \{v_i\} [/mm] beschreibt.
Also das heißt doch, dass ich meine Elemente in Defintionsbereich durch die Matrix [mm] \{w_i\} [/mm] darstelle, und das ich die gleichen Elemente im Wertebereich nun durch die Basis [mm] \{v_i\} [/mm] darstelle, oder?
Aber ich verstehe nicht, warum ich meine Matrix [mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] mit einer Matrix multipliziere, die die Basis von [mm] \{w_i\} [/mm] nach [mm] \{v_i\} [/mm] ändert. Die Matrix [mm] M_{f,\{v_i\},\{v_i\}} [/mm] ist doch die Matrix bzgl. der Basen [mm] \{v_i\}, [/mm] die Basis [mm] \{w_i\} [/mm] kommt doch da gar nicht vor. So intuitiv würde ich als Übergangsmatrix eher [mm] M_{id,\{v_i\},\{w_i\}} [/mm] wählen, die den Übergang von der Basis [mm] \{v_i\} [/mm] zur Basis [mm] \{w_i\} [/mm] beschreibt, weil das ist doch eigentlich die Richtung, die ich will, oder?
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schonmal.
LG, Nadine
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Hallo,
ich habe mir hier im Forum eine etwas andere Notation abgeschaut für die darstellende Matrix von f bzw. der Basen B im Start- und C im Zielraum:
[mm] _CM(f)_B. [/mm]
Diese werde ich im folgenden verwenden, denn sie ist in gewisser Hinsicht "selbstredend":
füttere ich [mm] _CM(f)_B [/mm] rechts mit einem Vektor, der in Koordinaten bzgl. der Basis ist, äppelt er hinten das Verdaute raus: das Bild des Vektors unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. C.
Jetzt stellen wir uns auf den Standpunkt, daß wir [mm] _BM(f)_B [/mm] gegeben haben und [mm] _CM(f)_C [/mm] haben wollen.
Wie erreichen wir das?
[mm] _BM(f)_B [/mm] frißt keine Vektoren, die in Koordinaten bzgl C gegeben sind.
Wir müssen diese zunächst umwandeln, es also erreichen, daß die Vektoren bzg. B in solche bzgl C verwandelt werden.
Dies tut die Matrix [mm] _BM(id)_C [/mm] für uns - die passende Transformationsmatrix. In ihren Spalten stehen die Basisvektoren von C in Koordinaten bzgl B.
Schauen wir nun [mm] _BM(f)_B*_BM(id)_C [/mm] an, gucken müssen wir von rechts: zuerst werden die Vektoren in Koordinaten bzgl C vorgekaut und verwandelt in freßbare in Koordinaten bzgl B. Diese werden von [mm] _BM(f)_B [/mm] gefuttert, raus kommt das Bild der verfütterten Vektoren in Koordinaten bzgl B.
Also ist insgesamt [mm] _BM(f)_B*_BM(id)_C=_BM(f)_C.
[/mm]
Nun kann man hinten das Verdaute auch noch umwandeln in Koordinaten bzgl C, indem man die entsprechende Matrix hinten, also links, anhängt:
[mm] _CM(id)_B*_BM(f)_B*_BM(id)_C=_CM(id)_B*_BM(f)_C=_CM(f)_C.
[/mm]
Gruß v. Angela
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