Basiswechsel bei unitären Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 09.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ich habe eine unitäre Abbildung f, die hat als Eigenschaft ja, daß sie diagonalisierbar ist, also habe ich eine Basis aus Eigenvektoren, so daß die Darstellungsmatrix M Diagonalgestalt hat und auf der Diagonalen nur Eigenwerte stehen. richtig?
So, wenn ich jetzt für diese diagonalisierte Darstellungsmatrix einen Basiswechsel durchführen möchte, was muß ich da beachten?
Es gilt doch die Formel:
[mm] \cal{M} [/mm] v´(f) = [mm] \cal{T} [/mm] vv´ [mm] \cal{M} [/mm] v(f)( [mm] \cal{T}vv´) [/mm] ^{-1}
Was bedeutet das für die Transformationsmatrizen) und ist v´auch eine Basis aus Eigenvektoren?
bin etwas verwirrt.
danke im Vorraus
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 09.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das mit den Eigenwerten auf der Diagonalen stimmt soweit.
Zwei Matrizen sind ja genau dann ähnlich, wenn sie bzgl. verschiedener Basen den gleichen Endomorphismus beschreiben. Hast Du also eine f darstellende Matrix M in Diagonalgestalt bzgl der Basis aus Eigenvektoren, so kannst Du zu einer anderen f beschreibenden Matrix M' übergehen durch
M' = [mm] SMS^{-1} [/mm] ,wobei S eine invertierbare Matrix gleicher Dimension ist. M' beschreibt f also nun bzgl. einer anderen Basis, die meines Wissens nach nicht notwendig aus Eigenvektoren bestehen muss.
Schöne Grüße,
djmatey.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
hi,
gibt es zwischen unitären und orthogonalen Abbildungen überhaupt Unterschiede, außer natürlich daß die einen komplex und die anderen reell sind?
Danke
Britta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mi 10.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Richtig, die Begriffe orthogonal und unitär kann man als gleich ansehen bis auf den Unterschied, dass orthogonal meist auf [mm] \IR [/mm] und unitär meist auf [mm] \IC [/mm] bezogen ist. .
Streng genommen unterscheidet man bei einem Endomorphismus, ob ein euklidischer oder unitärer Vektorraum V zugrunde liegt, d.h. ein Endomorphismus von V ist orthogonal bzw. unitär, falls V euklidisch bzw. unitär ist.
Best grtz djmatey.
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