Basiswechsel von lin.Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:21 Do 15.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo zusammen.
Ich hab eine grundsätzliche Verständnissfrage zum Basiswechsel einer lineare Abbildung. Ich hab mich versucht möglichst nah an der Vorlesung zu halten, jedoch haben wir da kein Rechenbeispiel im Tutorium gemacht. Weiß also nun nicht, ob ich's richtig verstanden hab. Ich geb hier mal ein Beispiel an. Wäre nett, wenn mir einer sagen könnte, ob ich's vom Prinzip her richtig gemacht habe. (hab kein vernünftiges Ergebniss rausbekommen, aber das liegt wohl an Rechenfehlern) Also:
Geg. Abbildung [mm] f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,x_2,x_3)
[/mm]
A:=BV M BW (f) = [mm] \pmat{ \bruch{3}{5} & \bruch{3}{5} & 1 \\ \bruch{4}{5} & \bruch{-7}{10} & 0 \\ \bruch{-7}{5} & \bruch{21}{10} & 5 }
[/mm]
Die Basen bezügl. der Abbildung lauten BV= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} \vektor{3 \\ 0 \\ 2} \vektor{0 \\ 5 \\ 6} [/mm] ; BW= [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 1} \vektor{0 \\ 3 \\ 1} \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Ich soll zu den Basen B'V= [mm] \vektor{13 \\ 7 \\ 9} \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{-9 \\ 3 \\ 3} [/mm] B'W= [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} \vektor{2 \\ 0 \\ 1} \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] wechseln.
Nach Vorlesung heißt es , das ich zuerst von BV zu B'V wechseln soll.
Um das zu machen hab ich jede einzelnen Vektor aus der Basis B'V als Linearkombination der Vektoren aus BV geschrieben, und die Koeffizienten [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] ausgerechnet.
Also konkret geschrieben: [mm] \vektor{13 \\ 7 \\ 9}=x_1* \vektor{2 \\ 1 \\ 0}+x_2* \vektor{3 \\ 0 \\ 2}+x_3* \vektor{0 \\ 5 \\ 6} [/mm] und das mit jedem Vektor aus B'V. Die Koeffizienten hab ich dann als Spalten aufgafasst und eine Matrix S:=BV T B'V rausbekommen, die aus den Spalten der Koeffizienten [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] besteht.
Als nächstes möchte ich die Basis BW gegen B'W auswechseln.
Hier hab ich genau das gleich gemacht wie oben. Ich hab jeden Vektor aus der Basis B'W als Linearkombination der Basisvektoren aus BW geschrieben. Als Bespiel: [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3}=x_1* \vektor{5 \\ 0 \\ 1}+x_2* \vektor{0 \\ 3 \\ 1}+x_3* \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Das wie gesagt mit jedem Vektor aus B'W gemacht, und die Koeffizienten [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] ausgerechnet, und als Spalten der Martix T:=B'W M BW aufgefasst.
Ist das bis hierhin richtig?
Jetzt soll ich laut Vorlesung, [mm] T^{-1} [/mm] ausrechnen, also invertieren.
Die gesuchte Matrix ist dann B:= [mm] T^{-1}AS.
[/mm]
Ist dieses Verfahren so richtig? Ich bin mir unsicher bei den Berechnungen der beiden Transformationsmatrizen. Muß ich wirklich jeden einzelnen Vektor der "neuen" Basen als Linearkombination der "alten" Basen ausdrücken, und die Koeffizienten als Spaltenvektoren schreiben? Wenn ja, muß ich das bei dem Übergang von der Basis BV M B'V sowie beim Übergang der Basis BW M B'W genauso machen?
Kann es sein, das es für solch einen Basiswelchsel mehrer Verfahren gibt?(In manchen LA Büchern sind andere Verfahren abgegeben)
Danke im vorraus.
viele Grüße Benno
P.S die Schreibweise (BV M BW soll bedeuten, das M die Darstellungsmatrix bezügl. der Basen BV und BW ist)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Do 15.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Benno,
> Ich hab eine grundsätzliche Verständnissfrage zum
> Basiswechsel einer lineare Abbildung. Ich hab mich versucht
> möglichst nah an der Vorlesung zu halten, jedoch haben wir
> da kein Rechenbeispiel im Tutorium gemacht. Weiß also nun
> nicht, ob ich's richtig verstanden hab. Ich geb hier mal
> ein Beispiel an. Wäre nett, wenn mir einer sagen könnte, ob
> ich's vom Prinzip her richtig gemacht habe. (hab kein
> vernünftiges Ergebniss rausbekommen, aber das liegt wohl an
> Rechenfehlern) Also:
Das ist sehr lobenswert, dass du versuchst es dir an einem Beispiel klar zu machen !!
Ich werde veruchen dir zu helfen.
(bin aber den Tag über nicht vor einem PC)
> Geg. Abbildung [mm]f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,x_2,x_3)[/mm]
> A:=BV M BW (f) = [mm]\pmat{ \bruch{3}{5} & \bruch{3}{5} & 1 \\ \bruch{4}{5} & \bruch{-7}{10} & 0 \\ \bruch{-7}{5} & \bruch{21}{10} & 5 }[/mm]
wichtig ist noch zu sagen, dass f von V nach W geht, also dass man rechts an die Matrix einen Vektor bzgl [mm] B_V [/mm] reinsteckt (=ranmultipliziert) und links einer bzgl [mm] B_W [/mm] rauskommt.
>
> Die Basen bezügl. der Abbildung lauten BV= [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0} \vektor{3 \\ 0 \\ 2} \vektor{0 \\ 5 \\ 6}[/mm]
> ; BW= [mm]\vektor{5 \\ 0 \\ 1} \vektor{0 \\ 3 \\ 1} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Ich soll zu den Basen B'V= [mm]\vektor{13 \\ 7 \\ 9} \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{-9 \\ 3 \\ 3}[/mm]
> B'W= [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3} \vektor{2 \\ 0 \\ 1} \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> wechseln.
> Nach Vorlesung heißt es , das ich zuerst von BV zu B'V
> wechseln soll.
> Um das zu machen hab ich jede einzelnen Vektor aus der
> Basis B'V als Linearkombination der Vektoren aus BV
> geschrieben, und die Koeffizienten [mm]x_1, x_2, x_3[/mm]
> ausgerechnet.
> Also konkret geschrieben: [mm]\vektor{13 \\ 7 \\ 9}=x_1* \vektor{2 \\ 1 \\ 0}+x_2* \vektor{3 \\ 0 \\ 2}+x_3* \vektor{0 \\ 5 \\ 6}[/mm]
> und das mit jedem Vektor aus B'V. Die Koeffizienten hab ich
> dann als Spalten aufgafasst und eine Matrix S:=BV T B'V
> rausbekommen, die aus den Spalten der Koeffizienten [mm]x_1, x_2[/mm]
> und [mm]x_3[/mm] besteht.
Prinzipiell ist dies richtig, obwohl ich nicht weiß, was T in deiner Darstellung sein soll.
Aber es geht auch wesentlich einfacher:
Bedenke, dass Bv und B'V bzgl einer dritten (wahrsch. Standard-) Basis gegeben ist, d.h. um die TrafoMtrix von B'V nach BV zu berechnen, muss man eine  Koordinatentransformation durchführen.
Oder anders ausgedrückt: du suchst den Vektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$, [/mm] so dass gilt: [mm] $M_V *x=\pmat{2&3&0\\1&0&5\\0&2&6}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{13\\7\\9}$
[/mm]
den bekommst du aber auch, indem du [mm] $x=(M_V)^{-1}*\vektor{13\\7\\9}$ [/mm] berechnest, wenn du dies für jeden der drei Vektoren machst und sie als Spalten schreiben willst,
erhälst du gerade die Matrix : [mm] $(M_V)^{-1}*(M_{V'})$
[/mm]
Das sollte evtl. einfacher zu rechnen sein.
> Als nächstes möchte ich die Basis BW gegen B'W
> auswechseln.
> Hier hab ich genau das gleich gemacht wie oben. Ich hab
> jeden Vektor aus der Basis B'W als Linearkombination der
> Basisvektoren aus BW geschrieben. Als Bespiel: [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3}=x_1* \vektor{5 \\ 0 \\ 1}+x_2* \vektor{0 \\ 3 \\ 1}+x_3* \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Das wie gesagt mit jedem Vektor aus B'W gemacht, und die
> Koeffizienten [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] ausgerechnet, und als Spalten der
> Martix T:=B'W M BW aufgefasst.
> Ist das bis hierhin richtig?
> Jetzt soll ich laut Vorlesung, [mm]T^{-1}[/mm] ausrechnen, also
> invertieren.
also der erste Teil geht ja genauso wie eben: einfach [mm] $(M_W)^{-1}*(M_{W'})$ [/mm] ausrechnen.
aber weil du ja jetzt von W nach W' wandeln willst, musst du diese Matrix nochmal invertieren - richtig.
> Die gesuchte Matrix ist dann B:= [mm]T^{-1}AS.[/mm]
ganz genau !
Falls dir nicht klar ist, warum, dann lies doch bitte mal den Beitrag zur Transformationsformel ...
falls du weitere Fragen hast , dann stelle sie ruhig, aber es wird wohl jemand anderes antworten müssen..
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Fr 16.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Dankesehr.
Ja ne, also wenn du mir sagst, dass ist so richtig wie ich's gemacht ab, dann denke ich, das ich es verstanden hab.
Thx auch für deinen Lösungsvorschlag.
Wenn du mir aber trotzdem nochmal bei was helfen magst, könntest du ja vielleicht mal meinen Frage zur "Fittining Zerlegung" anschauen.
Wiederhole noch was für LA Vordiplomprüfung. Danke nochmal.
viel Grüße Benno
|
|
|
|
