Basiswechselmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Stef99 |
| Aufgabe | zwei Basisübergangsmatrizen bestimmen zu:
K1=(e1,e2,e3)
B1=((1,0,1),(0,0,2),(0,3,0)) |
Wie bestimme ich eine Basisübergangsmatrix?
Die beiden Matrizen die ich bestimmen muss, müssten [mm] T_{K1}^{B1} [/mm] und [mm] T_{B1}^{K1} [/mm] sein. Leider weiß ich nicht, was diese Schreibweise überhaupt heißen soll und wie ich so auf eine Matrix kommen soll. Dass es sich bei K um die Standardbasis handelt, ist mir bewusst.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=549785
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zwei Basisübergangsmatrizen bestimmen zu:
> K1=(e1,e2,e3)
> B1=((1,0,1),(0,0,2),(0,3,0))
> Wie bestimme ich eine Basisübergangsmatrix?
> Die beiden Matrizen die ich bestimmen muss, müssten
> [mm]T_{K1}^{B1}[/mm] und [mm]T_{B1}^{K1}[/mm] sein. Leider weiß ich nicht,
> was diese Schreibweise überhaupt heißen soll und wie ich
> so auf eine Matrix kommen soll. Dass es sich bei K um die
> Standardbasis handelt, ist mir bewusst.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=549785
ich verstehe den Sinn Deiner Frage nicht ganz. Du hast doch auf dem
Matheboard Antworten bekommen.
Ansonsten steht
![[]](/images/popup.gif) hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_%28Vektorraum%29#Basiswechsel_bei_Abbildungsmatrizen
doch sehr viel zu dem, was Du brauchst. Vor allem das Beispiel ist doch
sehr schön - mache einfach genau das, was dort steht, mit Deinen Basen.
P.S. Weil ich gerade eines Deiner Probleme aus Deinen Mitteilungen im
Matheboard erkannt habe:
Bei [mm] $T_{B'}^B$ [/mm] (Basiswechsel von [mm] $B\,$ [/mm] nach [mm] $B\,'$) [/mm] würdest Du mit
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0 | & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 3| & 0 & 1 & 0 \\1 & 2 & 0 |& 0& 0 & 1}$
[/mm]
loslegen. Dass hier in der Tat nichts anderes als
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 3\\1 & 2 & 0 }^{-1}$
[/mm]
berechnet wird, liegt nur daran, dass oben rechts die Einheitsmatrix steht
(nach den | ) - etwas salopper (d.h. unsauber, aber vielleicht kommt es
dennoch besser an): In Matrixnotation ist [mm] $K_1$ [/mm] die Einheitsmatrix.
Und natürlich ist oben [mm] $K_1=B$ [/mm] und [mm] $B_1=B\,'$.
[/mm]
P.P.S. Vielleicht machst Du Dir klar, dass, wenn [mm] $K_1$ [/mm] anders aussehen würde,
und man dann diese andere Basis in Matrixnotation schreibt, dass dann
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 3\\1 & 2 & 0 }^{-1}*K_1$
[/mm]
berechnet werden würde. (Wie gesagt: Rechts dann [mm] "$K_1$ [/mm] in Matrixnotation!")
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Stef99 |
Okay, Dankeschön! So ist das echt viel verständlicher :) damit hätte ich den ersten Teil jetzt geschafft.
Für den zweiten Teil der Aufgabe sind ja
K2= (e1,e2,e3,e4) und B2=(e1+e2,e2+e3,e3+e4,e4) gegeben. Geh ich richtig in der Annahme, dass B2 so aussieht:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] ? Und hier geh ich dann wieder so vor, wie eben beschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, Dankeschön! So ist das echt viel verständlicher :)
> damit hätte ich den ersten Teil jetzt geschafft.
> Für den zweiten Teil der Aufgabe sind ja
> K2= (e1,e2,e3,e4) und B2=(e1+e2,e2+e3,e3+e4,e4) gegeben.
> Geh ich richtig in der Annahme, dass B2 so aussieht:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm] ?
da hast Du irgendwas durcheinander gebracht: [mm] $\red{e_1+e_2}=(1,0,0,0)^T+(0,1,0,0)^T=\red{(1,1,0,0)^T}\,.$
[/mm]
Deswegen
[mm] $\pmat{ \red{1} & 0 & 0 & 0\\ \red{1} & 1 & 0 & 0 \\ \red{0} & 1 & 1 & 0 \\ \red{0} & 0 & 1 & 1}$
[/mm]
> Und hier geh ich dann wieder so vor, wie eben beschrieben?
Ja - Du hast nur diese Matrix zu invertieren (und dann von rechts die
Einheitsmatrix des [mm] $\IR^{4 \times 4}$ [/mm] (das entspricht [mm] $K_2$) [/mm] dranzumultiplizieren,
was aber keine Veränderung bewirkt).
P.S. Schreibt ihr den [mm] $\IR^n$ [/mm] als Zeilenvektor- oder Spaltenvektorraum? Denn
wenn ihr mit Zeilenvektornotationen arbeitet, muss man ein wenig mit der
Notation aufpassen. Dein Ansatz zur ersten Aufgabe passt aber eigentlich
auch eher zur Spaltenvektornotation, sprich [mm] $\IR^n=\IR^{n \times 1}\,.$
[/mm]
Ich frage deswegen, weil ich gerade bemerkt habe, dass Du die Transponierte
der Matrix, die ich oben hingeschrieben habe, bei der zweiten Aufgabe
gebildet hattest!
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:23 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Stef99 |
oh, natürlich muss das anders herum...
Wenn ich nicht ganz falsch liege, schreiben wir das als Spaltenvektorraum. Was Du mit dem letzten Satz meinst, versteh ich allerdings leider nicht.
Wenn ich zudem noch die lineare Abbildung betrachten soll:
f: [mm] \IR [/mm] ^{4} [mm] \to \IR [/mm] ^{3}, [mm] f(x_{1}, x_{2},x_{3}, x_{4}) [/mm] = [mm] (x_{1}+x_{2}+x_{3}, 2x_{2}-x_{4}, x_{3}+5x_{1})
[/mm]
Wie bestimme ich dann alle 4 möglichen darstellenden Matrizen bezüglich der Basen, mit denen ich eben gearbeitet habe?
Gruß Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Sa 06.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich bin gerade auf dem Sprung, daher nur kurz:
> oh, natürlich muss das anders herum...
>
> Wenn ich nicht ganz falsch liege, schreiben wir das als
> Spaltenvektorraum. Was Du mit dem letzten Satz meinst,
> versteh ich allerdings leider nicht.
Na, wenn Du anstatt Spaltenvektoren Zeilenvektoren schreibst, schreibst
Du quasi die Transponierte einer Matrix hin. Nichts anderes habe ich gesagt,
und Du wiederholst es hier in der Feststellung "natürlich muss das anders
herum..."
> Wenn ich zudem noch die lineare Abbildung betrachten soll:
> f: [mm]\IR[/mm] ^{4} [mm]\to \IR[/mm] ^{3}, [mm]f(x_{1}, x_{2},x_{3}, x_{4})[/mm] =
> [mm](x_{1}+x_{2}+x_{3}, 2x_{2}-x_{4}, x_{3}+5x_{1})[/mm]
> Wie
> bestimme ich dann alle 4 möglichen darstellenden Matrizen
> bezüglich der Basen, mit denen ich eben gearbeitet habe?
Dazu evtl. später mehr. (Ich gebe Dir aber den Hinweis, dass Du diesbezüglich
in dem verlinkten Wiki-Artikel Informationen auch selbst finden kannst!)
Gruß,
Marcel
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