Bau einer Kläranlage < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Fig. 1 zeigt die gegenseitige Lage der Orte A,B und C. Im Punkt P soll eine gemeinsame Kläranlage gebaut werden. Wie ist P zu wählen, damit die Leitungen möglichst kurz werden? [Dateianhang nicht öffentlich]
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Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich an diese Aufgabe herangehen muss. Ich habe keine Idee, wie ich die verschiedenen Beziehungen miteinander verarbeiten muss. Könntet Ihr mir bitte helfen, einen Ansatz zu finden?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] d_1 [/mm] die Entfernung der Punkte A und P, sei [mm] d_2 [/mm] die Entfernung der Punkte B und P und sei [mm] d_3 [/mm] die Entfernung derPunkte C und P. Diese Abstände hängen von x ab.
Deine Aufgabe ist es , x so zu bestimmen, dass [mm] d_1+d_2+d_3 [/mm] minimal wird.
Es ist z.B. [mm] d_3 [/mm] = x und [mm] d_1 [/mm] = [mm] \wurzel{8^2+(15-x)^2}
[/mm]
FRED
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Dann müsste d2 = Wurzel(5² + (15-x)²) sein, oder?
Dann komme ich auf:
f(x) = x+Wurzel(8² + (15-x)²) + Wurzel (5²+(15-x)²)
abgeleitet:
f´(x) =1+((x-15)/2*Wurzel(289-30x+x²)) + ((x+15)/2*Wurzel(250-30x+x²))
f´(x)=0 setzen und x ausrechnen.
Dann würde ich x in d1, d2, und d3 einsetzen und dann hätte ich die Abstände zu P.
Wenn ich dann davon ausgehe, dass die Achse PC auf der y-Achse liegt und die Achse AB auf der x-Achse, kann ich die Koordinaten für P angeben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Deine Ableitung ist falsch !
FRED
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ok. Danke!
Ich muss es nochmal rechnen...
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Habe es erneut gerechnet, bin aber unsicher, ob es jetzt stimmt:
f´(x) = 1 + (-15+x)/Wurzel(289-30x+x²) + (-15+x)/(250-30x+x²)
Stimmt es jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mo 12.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist korrekt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Mo 12.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Einen Teil gebe ich dir mal vor:
[mm] \wurzel{8^{2}+(15-x)^{2}}=\wurzel{64+(15-x)^{2}}
[/mm]
hat mit Kettenregel die Ableitung
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{64+(15-x)^{2}}}*(30-2x)=\bruch{15-x}{\wurzel{64+(15-x)^{2}}}
[/mm]
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Muss ich jetzt nicht die Ableitung gleich 0 setzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 12.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Muss ich jetzt nicht die Ableitung gleich 0 setzen?
Yep, aber die komplette, die du ja jetzt korrekterweise vorliegen hast, mit
[mm] f'(x)=1+\bruch{x-15}{\wurzel{289-30x+x^{2}}}+\bruch{x-15}{\wurzel{250-30x+x^{2}}}
[/mm]
Ein Tipp noch. Lass unter der Wurzel [mm] (15-x)^{2} [/mm] stehen, also
[mm] f'(x)=1+\bruch{x-15}{\wurzel{64-(15-x)^{2}}}+\bruch{x-15}{\wurzel{25-(15-x)^{2}}}, [/mm] dann kannst du bei der Berechnung der Nullstellen von f'(x) z:=15-x substituieren, also:
[mm] f'(z)=1+\bruch{-z}{\wurzel{64-(z)^{2}}}+\bruch{-z}{\wurzel{25-(z)^{2}}}
[/mm]
Diese Antwort war nur als Hilfestellung für die Bildung der Ableitung zu verstehen
Marius
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