Bedeutung "stückweise stetig" < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 So 13.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Im Wahrscheinlichkeitstheorie-Buch von Klenke beginnt die (dort nicht bewiesene) "Dichtetransformationsformel im [mm] $\IR^n$" [/mm] (die man in Lehrbüchern zur Analysis II unter dem Stichwörtern Transformationssatz oder Substitutionsregel finde), mit den Worten
"Es sei [mm] $\mu$ [/mm] ein Maß auf [mm] $\IR^n$ [/mm] mit stetiger (oder stückweise stetiger) Dichte [mm] $f\colon\IR^n\to[0,\infty)$," [/mm] ...
Schon im Falle $n=1$ sind sich gemäß meiner soeben durchgeführten Suchmaschinen-Recherche offenbar nicht alle einig, was unter einer stückweise stetigen Funktion [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] zu verstehen ist.
Was aber ist im Falle $n>1$ mit [mm] "$f\colon\IR^n\to\IR$ [/mm] stückweise stetig" gemeint?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mo 21.03.2016 | | Autor: | huddel |
Naja, ich kenne nur zwei Definitionen für stückweise stetige Funktionen auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und diese sind äquivalent.
Ich nehme davon nun mal folgende Definition heraus:
Eine Funktion [mm] $f\colon [/mm] [a,b] [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] $a,b, [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] $a<b$, heißt stückweise stetig, wenn sie nur in endlich vielen Stellen nicht stetig ist.
Dazu sei erinnert, dass eine Funktion [mm] $f\colon [/mm] [a,b] [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] genau dann stetig in [mm] $c\in [/mm] [a,b]$ ist, wenn für alle Folgen [mm] $(c_n)_{n\in \mathbb{N}}$ [/mm] in $[a,b]$ mit [mm] $\lim_{n \to \infty} c_n [/mm] = c$, [mm] $\lim_{n\to \infty} f(c_n) [/mm] = [mm] f(\lim_{n\to \infty} c_n) [/mm] = f(c)$ gilt
Diese Definition lässt sich ja recht leicht auf jeden vollständigen metrischen Raum $X$ ausweiten:
Eine Funktion [mm] $f\colon [/mm] X [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] heißt stetig in einem Punkt [mm] $p\in [/mm] X$ wenn für alle Folgen [mm] $(p_n)_{n\in \mathbb{N}}$ [/mm] in $X$ mit [mm] $\lim_{n\to \infty} p_n [/mm] = p$, [mm] $\lim_{n\to \infty} f(p_n) [/mm] = [mm] f(\lim_{n\to \infty} p_n) [/mm] = f(p)$ gilt
Eine Funktion [mm] $f\colon [/mm] X [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] heißt stückweise stetig, wenn sie nur in endlich vielen Stellen nicht stetig ist.
Ich hoffe das hilft wenigstens ein bisschen :D
LG
Huddel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mo 21.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Im Wahrscheinlichkeitstheorie-Buch von Klenke beginnt die
> (dort nicht bewiesene) "Dichtetransformationsformel im
> [mm]\IR^n[/mm]" (die man in Lehrbüchern zur Analysis II unter dem
> Stichwörtern Transformationssatz oder Substitutionsregel
> finde), mit den Worten
>
> "Es sei [mm]\mu[/mm] ein Maß auf [mm]\IR^n[/mm] mit stetiger (oder
> stückweise stetiger) Dichte [mm]f\colon\IR^n\to[0,\infty)[/mm],"
> ...
>
> Schon im Falle [mm]n=1[/mm] sind sich gemäß meiner soeben
> durchgeführten Suchmaschinen-Recherche offenbar nicht alle
> einig, was unter einer stückweise stetigen Funktion
> [mm]f\colon\IR\to\IR[/mm] zu verstehen ist.
1. Mit der Definition von Huddel bin ich nicht einverstanden.
2. Sei $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion. Die "übliche" Definition von "stückweise stetig" lautet so:
f heißt stückweise stetig, wenn es Punkte [mm] x_0,...,x_n [/mm] in [a,b] gibt mit
[mm] $a=x_0
[mm] f_{|(x_j,x_{j+1})} [/mm] lässt sich stetig auf [mm] [x_j,x_{j+1}] [/mm] fortsetzen
(j=0,1,...,n-1)
3. Eine Funktion [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] heißt stückweise stetig, wenn g auf jedem kompakten Intervall stückweise stetig ist.
>
> Was aber ist im Falle [mm]n>1[/mm] mit "[mm]f\colon\IR^n\to\IR[/mm]
> stückweise stetig" gemeint?
Da kann ich Dir leider nicht helfen ....
Gruß FRED
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:36 Mo 21.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo huddel und Fred!
Vielen Dank für eure Beiträge! Am besten "gefällt" mir "Freds" Variante der Definition.
> > Was aber ist im Falle [mm]n>1[/mm] mit "[mm]f\colon\IR^n\to\IR[/mm]
> > stückweise stetig" gemeint?
>
> Da kann ich Dir leider nicht helfen ....
Ich würde mich weiterhin über eine Antwort auf diese Frage nach dem Fall $n>1$ freuen!
(Es scheint jedenfalls nicht auf grobe Inkompetenz meinerseits hinzudeuten, dass ich diese Definition nicht kenne...  )
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 05.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Do 24.03.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo zusammen!
> >
> >
> > Im Wahrscheinlichkeitstheorie-Buch von Klenke beginnt die
> > (dort nicht bewiesene) "Dichtetransformationsformel im
> > [mm]\IR^n[/mm]" (die man in Lehrbüchern zur Analysis II unter dem
> > Stichwörtern Transformationssatz oder Substitutionsregel
> > finde), mit den Worten
> >
> > "Es sei [mm]\mu[/mm] ein Maß auf [mm]\IR^n[/mm] mit stetiger (oder
> > stückweise stetiger) Dichte [mm]f\colon\IR^n\to[0,\infty)[/mm],"
> > ...
> >
> > Schon im Falle [mm]n=1[/mm] sind sich gemäß meiner soeben
> > durchgeführten Suchmaschinen-Recherche offenbar nicht alle
> > einig, was unter einer stückweise stetigen Funktion
> > [mm]f\colon\IR\to\IR[/mm] zu verstehen ist.
>
> 1. Mit der Definition von Huddel bin ich nicht
> einverstanden.
>
> 2. Sei [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] eine Funktion. Die "übliche"
> Definition von "stückweise stetig" lautet so:
>
> f heißt stückweise stetig, wenn es Punkte [mm]x_0,...,x_n[/mm] in
> [a,b] gibt mit
>
> [mm]a=x_0
>
> [mm]f_{|(x_j,x_{j+1})}[/mm] lässt sich stetig auf [mm][x_j,x_{j+1}][/mm]
> fortsetzen
>
> (j=0,1,...,n-1)
braucht man diese "Fortsetzungsbedingung" eigentlich nur, damit man an
den Stellen [mm] $x_0,...,x_{n}$ [/mm] nirgends ins +Unendliche bzw. -Unendliche läuft?
Also
$f:[-1,1] [mm] \to \IR$
[/mm]
mit $f(x):=1/x$ für $x [mm] \not=0$ [/mm] und $f(0):=1$ wäre nicht stückweise stetig.
(Nach Huddels Definition jedoch schon.)
Ich kenne Huddels Definition irgendwie auch nur im Zshg. mit Regelfunktionen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Do 24.03.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
Edit: hier stand Blödsinn
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:07 Fr 25.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
danke für deine Beiträge!
> > 2. Sei [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] eine Funktion. Die "übliche"
> > Definition von "stückweise stetig" lautet so:
> >
> > f heißt stückweise stetig, wenn es Punkte [mm]x_0,...,x_n[/mm] in
> > [a,b] gibt mit
> >
> > [mm]a=x_0
> >
> > [mm]f_{|(x_j,x_{j+1})}[/mm] lässt sich stetig auf [mm][x_j,x_{j+1}][/mm]
> > fortsetzen
> >
> > (j=0,1,...,n-1)
>
> braucht man diese "Fortsetzungsbedingung" eigentlich nur,
> damit man an
> den Stellen [mm]x_0,...,x_{n}[/mm] nirgends ins +Unendliche bzw.
> -Unendliche läuft?
Diese "Fortsetzungsbedingung" ist "einschränkender":
Betrachte etwa die Funktion
[mm]f:[-1,1] \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=\sin(\frac{1}{x})[/mm] für [mm]x \not=0[/mm] und [mm]f(0):=0[/mm].
Viele Grüße
Tobias
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http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII/FourierR.pdf