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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
Welche Bedienungen müssen die Koeffizienten a, b, c und d jeweils erfüllen, damit f zwei Extremwerte besitzt? |
Hallo!
Ich habe da eine Frage bezüglich der Aufgabe, da ich mit ihr nicht so richtig zurecht komme.
Würde es sich um eine Extremstelle handeln, hätte ich gesagt:
a = 0 [mm] \wedge [/mm] b [mm] \not= [/mm] 0
Da:
[mm] f'(x_{0}) [/mm] = 0, ..., [mm] f^{(n-1)}(x_{0}) [/mm] = 0,
[mm] f^{(n)}(x_{0}) \not= [/mm] 0 und n gerade sein muss.
Dann hätte ich genau 1 Extremstelle, da das [mm] x^3 [/mm] wegfällt und die 2. Ableitung den Wert von b enthält.
Bei 2 Extremstellen... ja, muss ich da nicht einfach ein [mm] x_{1} [/mm] finden, was eben auch die obigen Kriterien erfüllt?
Nur würde ich dadurch ja nichts an den Koeffizienten aussagen. Und die Lösung sagt mir was vollkommen anderes, worauf ich nie im Leben gekommen wäre und auch nach längeren Überlegen meiner Meinung nach keinen Sinn ergibt...
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Hallo,
> Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
> Welche Bedienungen müssen die Koeffizienten a, b, c und d
> jeweils erfüllen, damit f zwei Extremwerte besitzt?
> Hallo!
> Ich habe da eine Frage bezüglich der Aufgabe, da ich mit
> ihr nicht so richtig zurecht komme.
> Würde es sich um eine Extremstelle handeln, hätte ich
> gesagt:
> a = 0 [mm]\wedge[/mm] b [mm]\not=[/mm] 0
> Da:
> [mm]f'(x_{0})[/mm] = 0, ..., [mm]f^{(n-1)}(x_{0})[/mm] = 0,
> [mm]f^{(n)}(x_{0}) \not=[/mm] 0 und n gerade sein muss.
> Dann hätte ich genau 1 Extremstelle, da das [mm]x^3[/mm] wegfällt
> und die 2. Ableitung den Wert von b enthält.
Das ist ok.
> Bei 2 Extremstellen... ja, muss ich da nicht einfach ein
> [mm]x_{1}[/mm] finden, was eben auch die obigen Kriterien erfüllt?
Genau.
Also bilde zunächst die erste Ableitung:
$f'(x) = 3 a [mm] x^2 [/mm] + 2 b x + c$.
Damit du zwei Extremstellen bekommst, musst die erste Ableitung zwei Nullstellen haben. Dafür brauchst du auf jeden Fall $a [mm] \not= [/mm] 0$.
Du musst nun also die Bedingung für a,b,c finden, so dass die quadratische Gleichung $f'(x) = 0$ zwei Lösungen hat.
Dadurch bekommst du doch Bedingungen für die Koeffizienten.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Andynator |
Hallo Stefan!
Danke für die Hilfe!
Jetzt war der Rest auch klar, das ganze kann man dann ja durch anschauen und bisschen überlegen der PQ-Formel relativ schnell lösen.
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