Bedingte Erwartungswerte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | X,Y seien stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit $E(|X|), E(|Y|) < [mm] \infty$. [/mm] Berechne:
a) E(X+Y|Y)
b) E(XY|Y) für E(|XY|) < [mm] \infty
[/mm]
c) [mm] E((X+Y)^{2}|Y) [/mm] für [mm] E(Y^{2}), E(X^{2}) [/mm] < [mm] \infty. [/mm] |
Hallo!
Bei den obigen Aufgaben bin ich mir nicht ganz sicher, was ich machen darf und was nicht. Ich versuche es mal im stetigen Fall:
a)
Es ist ja $E(X|Y) := [mm] \int_{\IR}x*f_{X|Y=y}(x) [/mm] dx$. Also müsste ich schreiben können:
$E(X+Y|Y) = [mm] \int_{\IR}(x+y)*f_{X|Y=y}(x) [/mm] dx = [mm] \int_{\IR}x*f_{X|Y=y}(x) [/mm] dx + [mm] \int_{\IR}y*f_{X|Y=y}(x) [/mm] dx = E(X|Y)+E(Y|Y) = E(X) + Y$ ?,
weil E(X|Y) = E(X) wenn X,Y stochastisch unabhängig.
Irgendwie nehme ich mir das aber selbst nicht ab...
b)
Wir hatten eine Formel bewiesen: $E(X*h(Y)|Y) = h(Y)*E(X|Y)$.
Wenn ich das hier anwende: E(X*Y|Y) = Y*E(X|Y) = Y*E(X). Aber wieso muss dann nach Voraussetzung E(|XY|) < [mm] \infty [/mm] gelten?
c)
[mm] $E((X+Y)^{2}|Y) [/mm] = [mm] E(X^{2}+2*X*Y+Y^{2}|Y) [/mm] = [mm] E(X^{2}|Y)+E(2*X*Y|Y)+E(Y^{2}|Y) [/mm] = [mm] E(X^{2}) [/mm] + 2*Y*E(X) + [mm] Y^{2}$.
[/mm]
Stimmt das?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 So 24.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> X,Y seien stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit
> [mm]E(|X|), E(|Y|) < \infty[/mm]. Berechne:
>
> a) E(X+Y|Y)
> b) E(XY|Y) für E(|XY|) < [mm]\infty[/mm]
> c) [mm]E((X+Y)^{2}|Y)[/mm] für [mm]E(Y^{2}), E(X^{2})[/mm] < [mm]\infty.[/mm]
> Hallo!
>
> Bei den obigen Aufgaben bin ich mir nicht ganz sicher, was
> ich machen darf und was nicht. Ich versuche es mal im
> stetigen Fall:
>
> a)
>
> Es ist ja [mm]E(X|Y) := \int_{\IR}x*f_{X|Y=y}(x) dx[/mm]. Also
> müsste ich schreiben können:
>
> [mm]E(X+Y|Y) = \int_{\IR}(x+y)*f_{X|Y=y}(x) dx = \int_{\IR}x*f_{X|Y=y}(x) dx + \int_{\IR}y*f_{X|Y=y}(x) dx = E(X|Y)+E(Y|Y) = E(X) + Y[/mm]
> ?,
>
> weil E(X|Y) = E(X) wenn X,Y stochastisch unabhängig.
> Irgendwie nehme ich mir das aber selbst nicht ab...
Ich nehme mal an, ihr habt gezeigt, dass $E(X|Y) = E(X)$ und $E(Y|Y) = Y$ ist?
In dem Fall liegt das Problem beim Integral.
Einmal musst du evtl. zeigen, dass [mm] $f_{X|Y=y}$ [/mm] ueberhaupt existiert. Und dann ist da noch die Frage: was ist $y$? So macht das ganze zumindest nicht so viel Sinn.
Habt ihr evtl. in der VL gezeigt, dass [mm] $E(\bullet|Y)$ [/mm] linear ist? Dann brauchst du keine Integrale zu verwenden.
> b)
>
> Wir hatten eine Formel bewiesen: [mm]E(X*h(Y)|Y) = h(Y)*E(X|Y)[/mm].
>
> Wenn ich das hier anwende: E(X*Y|Y) = Y*E(X|Y) = Y*E(X).
> Aber wieso muss dann nach Voraussetzung E(|XY|) < [mm]\infty[/mm]
> gelten?
Was hat die Formel denn fuer Voraussetzungen?
> c)
>
> [mm]E((X+Y)^{2}|Y) = E(X^{2}+2*X*Y+Y^{2}|Y) = E(X^{2}|Y)+E(2*X*Y|Y)+E(Y^{2}|Y) = E(X^{2}) + 2*Y*E(X) + Y^{2}[/mm].
>
> Stimmt das?
Warum gilt $E(|XY|) < [mm] \infty$? [/mm] (Passenden Satz verwenden!) Das brauchst du damit du b) benutzen kannst.
Ansonsten ist's richtig.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> Ich nehme mal an, ihr habt gezeigt, dass [mm]E(X|Y) = E(X)[/mm] und
> [mm]E(Y|Y) = Y[/mm] ist?
Ja, wir haben: $E(X*h(Y)|Y) = h(Y)*E(X|Y)$ für jede messbare Funktion h. Und wenn ich X = 1 konstant wähle, dann ist die ja eigentlich unabhängig von Y, und dann steht da: E(h(Y)|Y) = h(Y)*E(1|Y) = h(Y). Weil wir haben auch gezeigt, dass E(X|Y) = E(X), wenn X,Y stochastisch unabhängig.
> Habt ihr evtl. in der VL gezeigt, dass [mm]E(\bullet|Y)[/mm] linear
> ist? Dann brauchst du keine Integrale zu verwenden.
Es steht im Skript, aber mit "Nachrechnen". Könnte ich das mal versuchen?
> > b)
> >
> > Wir hatten eine Formel bewiesen: [mm]E(X*h(Y)|Y) = h(Y)*E(X|Y)[/mm].
>
> >
> > Wenn ich das hier anwende: E(X*Y|Y) = Y*E(X|Y) = Y*E(X).
> > Aber wieso muss dann nach Voraussetzung E(|XY|) < [mm]\infty[/mm]
> > gelten?
>
> Was hat die Formel denn fuer Voraussetzungen?
Die Formel hat eigentlich nur die Voraussetzung, dass h messbar ist, das verwirrt mich auch so...
> > c)
> >
> > [mm]E((X+Y)^{2}|Y) = E(X^{2}+2*X*Y+Y^{2}|Y) = E(X^{2}|Y)+E(2*X*Y|Y)+E(Y^{2}|Y) = E(X^{2}) + 2*Y*E(X) + Y^{2}[/mm].
> >
> > Stimmt das?
>
> Warum gilt [mm]E(|XY|) < \infty[/mm]? (Passenden Satz verwenden!)
> Das brauchst du damit du b) benutzen kannst.
Mhh...
Ich weiß, dass X und Y stochastisch unabhängig. Dann müsste gelten: $E(|X*Y|) = E(|X|)*E(|Y|)$. Und nun weiß ich, dass [mm] E(X^{2}),E(Y^{2}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] sind. Daraus bekomme ich, dass [mm] E(X^{2})*E(Y^{2}) [/mm] = [mm] E((X*Y)^{2}) [/mm] < [mm] \infty...
[/mm]
Aber wie kann ich das benutzen, um E(|X*Y|) < [mm] \infty [/mm] zu beweisen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!!!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 24.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Ich nehme mal an, ihr habt gezeigt, dass [mm]E(X|Y) = E(X)[/mm] und
> > [mm]E(Y|Y) = Y[/mm] ist?
>
> Ja, wir haben: [mm]E(X*h(Y)|Y) = h(Y)*E(X|Y)[/mm] für jede messbare
> Funktion h. Und wenn ich X = 1 konstant wähle, dann ist
> die ja eigentlich unabhängig von Y, und dann steht da:
> E(h(Y)|Y) = h(Y)*E(1|Y) = h(Y). Weil wir haben auch
> gezeigt, dass E(X|Y) = E(X), wenn X,Y stochastisch
> unabhängig.
Ok :)
> > Habt ihr evtl. in der VL gezeigt, dass [mm]E(\bullet|Y)[/mm] linear
> > ist? Dann brauchst du keine Integrale zu verwenden.
>
> Es steht im Skript, aber mit "Nachrechnen". Könnte ich das
> mal versuchen?
Das folgt direkt aus der Integralschreibweise bzw. Definition von [mm] $E(\bullet|Y)$ [/mm] als Ideal. Du brauchst dazu "nur" die vollstaendige Definition von der Zufallsvariablen [mm] $E(\bullet|Y)$.
[/mm]
> > > b)
> > >
> > > Wir hatten eine Formel bewiesen: [mm]E(X*h(Y)|Y) = h(Y)*E(X|Y)[/mm].
> >
> > >
> > > Wenn ich das hier anwende: E(X*Y|Y) = Y*E(X|Y) = Y*E(X).
> > > Aber wieso muss dann nach Voraussetzung E(|XY|) < [mm]\infty[/mm]
> > > gelten?
> >
> > Was hat die Formel denn fuer Voraussetzungen?
>
> Die Formel hat eigentlich nur die Voraussetzung, dass h
> messbar ist, das verwirrt mich auch so...
Eventuell reicht das auch.
Ich vermute mittlerweile, die Voraussetzung $E(|Z|) < [mm] \infty$ [/mm] wird dafuer benoetigt, um $E(Z|Y)$ zu definieren. Guck evtl. mal im Skript wie $E(Z|Y)$ genau definiert wird, insb. was vorausgesetzt wird.
> > > c)
> > >
> > > [mm]E((X+Y)^{2}|Y) = E(X^{2}+2*X*Y+Y^{2}|Y) = E(X^{2}|Y)+E(2*X*Y|Y)+E(Y^{2}|Y) = E(X^{2}) + 2*Y*E(X) + Y^{2}[/mm].
>
> > >
> > > Stimmt das?
> >
> > Warum gilt [mm]E(|XY|) < \infty[/mm]? (Passenden Satz verwenden!)
> > Das brauchst du damit du b) benutzen kannst.
>
> Mhh...
> Ich weiß, dass X und Y stochastisch unabhängig. Dann
> müsste gelten: [mm]E(|X*Y|) = E(|X|)*E(|Y|)[/mm]. Und nun weiß
> ich, dass [mm]E(X^{2}),E(Y^{2})[/mm] < [mm]\infty[/mm] sind. Daraus bekomme
> ich, dass [mm]E(X^{2})*E(Y^{2})[/mm] = [mm]E((X*Y)^{2})[/mm] < [mm]\infty...[/mm]
> Aber wie kann ich das benutzen, um E(|X*Y|) < [mm]\infty[/mm] zu
> beweisen?
Hattet ihr zufaellig die hoeldersche Ungleichung fuer Integrale? Das ist genau das, was du hier brauchst.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> > > Habt ihr evtl. in der VL gezeigt, dass [mm]E(\bullet|Y)[/mm] linear
> > > ist? Dann brauchst du keine Integrale zu verwenden.
> >
> > Es steht im Skript, aber mit "Nachrechnen". Könnte ich das
> > mal versuchen?
>
> Das folgt direkt aus der Integralschreibweise bzw.
> Definition von [mm]E(\bullet|Y)[/mm] als Ideal. Du brauchst dazu
> "nur" die vollstaendige Definition von der Zufallsvariablen
> [mm]E(\bullet|Y)[/mm].
Mir ist es dennoch nicht klar. Ich weiß, dass
[mm] $E(X|Y=y):=\int_{\IR}y*f_{X|Y=y}(x) [/mm] dx$,
wobei [mm] $f_{X|Y=y}(x) [/mm] := [mm] \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}$ [/mm] (und "manchmal" 0, falls [mm] f_{Y}(y) [/mm] = 0).
Aber was ist jetzt E(a*X+b*Y|Z) ? Ich scheitere schon an der Integral-Schreibweise, weil theoretisch muesste meine Funktion f doch jetzt von drei Parametern abhängen? [mm] f_{X,Y,Z} [/mm] ?
> > Ich weiß, dass X und Y stochastisch unabhängig. Dann
> > müsste gelten: [mm]E(|X*Y|) = E(|X|)*E(|Y|)[/mm]. Und nun weiß
> > ich, dass [mm]E(X^{2}),E(Y^{2})[/mm] < [mm]\infty[/mm] sind. Daraus bekomme
> > ich, dass [mm]E(X^{2})*E(Y^{2})[/mm] = [mm]E((X*Y)^{2})[/mm] < [mm]\infty...[/mm]
> > Aber wie kann ich das benutzen, um E(|X*Y|) < [mm]\infty[/mm] zu
> > beweisen?
>
> Hattet ihr zufaellig die hoeldersche Ungleichung fuer
> Integrale? Das ist genau das, was du hier brauchst.
Reicht theoretisch auch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung? (Weil von Hoelder hab ich zwar schon gehoert, aber ich weiß nicht, ob wir sie benutzen dürfen.).
Ich habe es jetzt so geschrieben:
[mm] \infty [/mm] > [mm] E(X^{2})*E(Y^{2}) [/mm] = [mm] \left(\int_{\IR}x^{2}*f_{X}(x)dx\right)*\left(\int_{\IR}y^{2}*f_{Y}(y) dy\right) \ge [/mm] ... [mm] \ge [/mm] = [mm] \left(\int_{\IR}|x|*f_{X}(x) dx\right)*\left(\int_{\IR}|y|*f_{Y}(y) dy\right) [/mm] = E(|X|)*E(|Y|) = E(|X*Y|).
Aber wie genau funktioniert das jetzt in der Mitte  ?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Fr 29.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
Sorry das ich erst so spaet schreibe, irgendwie hab ich's immer verpennt...
> > > > Habt ihr evtl. in der VL gezeigt, dass [mm]E(\bullet|Y)[/mm] linear
> > > > ist? Dann brauchst du keine Integrale zu verwenden.
> > >
> > > Es steht im Skript, aber mit "Nachrechnen". Könnte ich das
> > > mal versuchen?
> >
> > Das folgt direkt aus der Integralschreibweise bzw.
> > Definition von [mm]E(\bullet|Y)[/mm] als Ideal. Du brauchst dazu
> > "nur" die vollstaendige Definition von der Zufallsvariablen
> > [mm]E(\bullet|Y)[/mm].
>
> Mir ist es dennoch nicht klar. Ich weiß, dass
>
> [mm]E(X|Y=y):=\int_{\IR}y*f_{X|Y=y}(x) dx[/mm],
>
> wobei [mm]f_{X|Y=y}(x) := \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}[/mm] (und
> "manchmal" 0, falls [mm]f_{Y}(y)[/mm] = 0).
Naja, das ist $E(X|Y=y)$, aber nicht $E(X|Y)$.
Du solltest auch besser mit einer anderen Formel fuer den Erwartungswert arbeiten (also aehnlich zu dem was ich gleich schreibe, halt mit der bedingten Erwartung), naemlich [mm] $\int_\Omega X(\omega) d\mathbb{P}(\omega)$, [/mm] und nicht mit [mm] $\int_\IR [/mm] x [mm] f_X(x) [/mm] dx$. Mit dem ersten bekommst du naemlich $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ sofort hin, mit dem zweiten nicht.
> Aber was ist jetzt E(a*X+b*Y|Z) ? Ich scheitere schon an
> der Integral-Schreibweise, weil theoretisch muesste meine
> Funktion f doch jetzt von drei Parametern abhängen?
> [mm]f_{X,Y,Z}[/mm] ?
Genau... Deswegen arbeite lieber mit ner anderen Darstellung des Erwartungswertes.
> > > Ich weiß, dass X und Y stochastisch unabhängig. Dann
> > > müsste gelten: [mm]E(|X*Y|) = E(|X|)*E(|Y|)[/mm]. Und nun weiß
> > > ich, dass [mm]E(X^{2}),E(Y^{2})[/mm] < [mm]\infty[/mm] sind. Daraus bekomme
> > > ich, dass [mm]E(X^{2})*E(Y^{2})[/mm] = [mm]E((X*Y)^{2})[/mm] < [mm]\infty...[/mm]
> > > Aber wie kann ich das benutzen, um E(|X*Y|) < [mm]\infty[/mm]
> zu
> > > beweisen?
> >
> > Hattet ihr zufaellig die hoeldersche Ungleichung fuer
> > Integrale? Das ist genau das, was du hier brauchst.
>
> Reicht theoretisch auch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung?
Stimmt, die reicht voellig 
> (Weil von Hoelder hab ich zwar schon gehoert, aber ich
> weiß nicht, ob wir sie benutzen dürfen.).
> Ich habe es jetzt so geschrieben:
>
> [mm]\infty[/mm] > [mm]E(X^{2})*E(Y^{2})[/mm] =
> [mm]\left(\int_{\IR}x^{2}*f_{X}(x)dx\right)*\left(\int_{\IR}y^{2}*f_{Y}(y) dy\right) \ge[/mm]
> ... [mm]\ge[/mm] = [mm]\left(\int_{\IR}|x|*f_{X}(x) dx\right)*\left(\int_{\IR}|y|*f_{Y}(y) dy\right)[/mm]
> = E(|X|)*E(|Y|) = E(|X*Y|).
Nein, so geht das nicht. Aber so: [mm] $\infty [/mm] > [mm] \sqrt{E(X^2) E(Y^2)} [/mm] = [mm] \sqrt{\int_\Omega X(\omega)^2 d\IP(\omega) \cdot \int_\Omega Y(\omega)^2 d\IP(\omega)} \underset{\text{Cauchy-Schwarz}}{\ge} \int_\Omega |X(\omega) Y(\omega)| d\IP(\omega) [/mm] = E(|X Y|)$.
LG Felix
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Hallo Felix,
> Sorry das ich erst so spaet schreibe, irgendwie hab ich's
> immer verpennt...
Du weißt selbst, dass das kein Problem ist - schließlich hilfst du mir!
Dafür danke ich dir!
> > [mm]E(X|Y=y):=\int_{\IR}y*f_{X|Y=y}(x) dx[/mm],
> >
> > wobei [mm]f_{X|Y=y}(x) := \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}[/mm] (und
> > "manchmal" 0, falls [mm]f_{Y}(y)[/mm] = 0).
>
> Naja, das ist [mm]E(X|Y=y)[/mm], aber nicht [mm]E(X|Y)[/mm].
>
> Du solltest auch besser mit einer anderen Formel fuer den
> Erwartungswert arbeiten (also aehnlich zu dem was ich
> gleich schreibe, halt mit der bedingten Erwartung),
> naemlich [mm]\int_\Omega X(\omega) d\mathbb{P}(\omega)[/mm], und
> nicht mit [mm]\int_\IR x f_X(x) dx[/mm]. Mit dem ersten bekommst du
> naemlich [mm]E(X + Y) = E(X) + E(Y)[/mm] sofort hin, mit dem zweiten
> nicht.
Ja... Ich habe es trotzdem mit der obigen Variante jetzt hinbekommen. Das Problem ist, dass unsere Vorlesung eine Einführungsvorlesung ist, wir kennen "Integrieren nach [mm] \IP [/mm] " nicht.
> > Ich habe es jetzt so geschrieben:
> >
> > [mm]\infty[/mm] > [mm]E(X^{2})*E(Y^{2})[/mm] =
> >
> [mm]\left(\int_{\IR}x^{2}*f_{X}(x)dx\right)*\left(\int_{\IR}y^{2}*f_{Y}(y) dy\right) \ge[/mm]
> > ... [mm]\ge[/mm] = [mm]\left(\int_{\IR}|x|*f_{X}(x) dx\right)*\left(\int_{\IR}|y|*f_{Y}(y) dy\right)[/mm]
> > = E(|X|)*E(|Y|) = E(|X*Y|).
>
> Nein, so geht das nicht. Aber so: [mm]\infty > \sqrt{E(X^2) E(Y^2)} = \sqrt{\int_\Omega X(\omega)^2 d\IP(\omega) \cdot \int_\Omega Y(\omega)^2 d\IP(\omega)} \underset{\text{Cauchy-Schwarz}}{\ge} \int_\Omega |X(\omega) Y(\omega)| d\IP(\omega) = E(|X Y|)[/mm].
Danke, das werd' ich mir dann für die nächste Vorlesung merken
Ich habe nämlich gerade entdeckt, dass in den Voraussetzungen der Aufgabe noch stand, dass E(|X|) und E(|Y|) beide endlich sind - damit wird das Problem natürlich trivial.
Grüße,
Stefan
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