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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Sa 29.07.2023 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Elementarereignisse:
P(A) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
P(B) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
P(C) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
OMEGA = {A,B,C}
Es gelten also La Place Regeln.
Ich könnte auch sagen es ist ein Würfel mit 3 Augen.
Weiter ist eine Liste beliebiger länge gegeben [A,B,C,A,C,C,A,B,B,A,A.....]
Also die Länge spielt nicht wirklich eine Rolle.
Was wichtig ist, ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A,B oder C in dieser liste.
Bei eins angefangen [A,.,.,.,......] beträgt die Wahrscheinlichkeit für
P(A) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
So da ich jetzt das erste Ereignis kenne kann ich mich Fragen
was ist P(B|A)
also wie wahrscheinlich ist es, dass B als zweites Element in der Liste [A,B,......] erscheint, unter der Bedingung dass, das erste Element A ist
P(B|A) |
Ist das überhaupt möglich oder sind die Mengen
{A},{B},{C} Disjunkt ?
Aber dann denke ich dass die Länge der Liste doch eine Rolle spielt und die Menge {[A,B,....]} = X = {A,B} , Reihenfolge egal.
Dann Müsste die Menge Y ={A,(B,C)} also die bekannte Menge sein
und dann sieht die Formel der Bedingten Wahrscheinlichkeit für das auftreten von X unter der Bedingung Y so aus.
Gegeben:
X={A,B}
Y={A,B,C}
[mm] P(X|Y)=\bruch{P(X \cap Y)}{P(Y)}
[/mm]
P(X [mm] \cap [/mm] Y)= {A,B} [mm] =2*\bruch{1}{3}=\bruch{2}{3}
[/mm]
P(Y) = 1
[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}}{1} =\bruch{2}{3}
[/mm]
Aber irgendwie drehe ich mich hier im Kreis,
denn eigentlich ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
aber die Wahrscheinlichkeit von B muss doch steigen wenn A oder C bereits gewürfelt wurden.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Sa 29.07.2023 | | Autor: | statler |
Hi!
> Elementarereignisse:
>
> P(A) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> P(B) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> P(C) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> OMEGA = {A,B,C}
>
> Es gelten also La Place Regeln.
> Ich könnte auch sagen es ist ein Würfel mit 3 Augen.
Gemeint ist wohl: mit 3 Seiten. Oder besser: ein normaler Würfel mit 2 Einsen, 2 Zweien und 2 Dreien.
>
> Weiter ist eine Liste beliebiger länge gegeben
> [A,B,C,A,C,C,A,B,B,A,A.....]
>
> Also die Länge spielt nicht wirklich eine Rolle.
> Was wichtig ist, ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit
> des Auftretens von A,B oder C in dieser liste.
>
> Bei eins angefangen [A,.,.,.,......] beträgt die
> Wahrscheinlichkeit für
>
> P(A) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> So da ich jetzt das erste Ereignis kenne kann ich mich
> Fragen
>
> was ist P(B|A)
>
> also wie wahrscheinlich ist es, dass B als zweites Element
> in der Liste [A,B,......] erscheint, unter der Bedingung
> dass, das erste Element A ist
>
> P(B|A)
> Ist das überhaupt möglich oder sind die Mengen
>
> {A},{B},{C} Disjunkt ?
Das sieht man doch hoffentlich: ja!
>
> Aber dann denke ich dass die Länge der Liste doch eine
> Rolle spielt und die Menge {[A,B,....]} = X = {A,B} ,
> Reihenfolge egal.
>
> Dann Müsste die Menge Y ={A,(B,C)} also die bekannte Menge
> sein
>
> und dann sieht die Formel der Bedingten Wahrscheinlichkeit
> für das auftreten von X unter der Bedingung Y so aus.
>
> Gegeben:
>
> X={A,B}
>
> Y={A,B,C}
>
> [mm]P(X|Y)=\bruch{P(X \cap Y)}{P(Y)}[/mm]
>
> P(X [mm]\cap[/mm] Y)= {A,B} [mm]=2*\bruch{1}{3}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> P(Y) = 1
>
> [mm]=\bruch{\bruch{2}{3}}{1} =\bruch{2}{3}[/mm]
Nee, so wird das nix. Du könntest X = {(*,B)} und Y = {(A,*)} nehmen. Das zugehörige Modell ist hier 'Ziehen mit Zurücklegen'. Der Würfel (bzw. die Urne) hat kein Gedächtnis. Wenn das anders wäre, käme man in die Welt der Markow-Prozesse.
>
> Aber irgendwie drehe ich mich hier im Kreis,
>
> denn eigentlich ist die Wahrscheinlichkeit für jedes
> Ereignis [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> aber die Wahrscheinlichkeit von B muss doch steigen wenn A
> oder C bereits gewürfelt wurden.
Das ist der bekannte Roulette-Irrtum: Wenn 10mal hintereinander 'Rot' gefallen ist, ist im 11. Versuch die Wahrscheinlichkeit für 'Schwarz' immer noch 1/2.
Gruß Dieter
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Gemäß deiner Beschreibung sind A,B und C die (je gleichwahrscheinlichen) Ausgänge einer einzelnen Ausführung des Zufallsexperiments.
Der Wahrscheinlichkeitsraum Omega beschreibt also nur diesen simplen "Laplace-Raum".
Wenn du dann aber Serien beliebiger Länge von Einzelausführungen dieses Versuches betrachten willst, brauchst du auch entsprechend ausgewählte Wahrscheinlichkeitsräume, deren Elemente eben Sequenzen (der gewählten Länge) wie etwa <A,C,B,B,C> etc. sein können.
LG , Al-Chwarizmi
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