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| Aufgabe | Eine noble Villa ist durch eine Alarmanlage gesichert. Diese gibt im Falle eines Einbruchs mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% Alarm. Jedoch muss mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% ein Fehlalarm einkalkuliert werden, wenn kein Einbruch stattfindet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Einbruch liegt pro Nacht bei etwa 1:1000.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Falle eines Alarms tatsächlich ein Einbruch begangen wird? |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier seht ihr meine beiden Bäume. Zuerst das normale Baumdiagramm, darunter das inverse Baumdiagramm.
E = Einbruch ; E/ = kein Einbruch
A = Alarm ; A/ = kein Alarm
Gesucht ist der pink markierte Ast, also PA(E) => Alarm, wenn ein Einbruch stattfindet
Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, benötige ich zuerst die totale Wahrscheinlichkeit für "Alarm" oder "kein Alarm", also für P(A) und P(A/).
Diese habe ich mit folgender Formel berechnet:
P(B)= P(A)* PA(B) + P(A/) * PA/(B)
Mit meinen Bezeichnungen lautet die Formel folgendermaßen:
P(A) = P(E) * PE(A) + P(E/) * PE/(A)
= 0.001 * 0.99 + 0.999 * 0.01
= 0.01098
= 1,098 %
So. Nun habe ich die Wahrscheinlichkeiten für P(A) und P(A/), also
1,098 % und 98,902% .
Nun müsste ich den Satz von Bayes anwenden:
PB(A) = [mm] \bruch{P(A) * PA(B)}{P(A) * PA(B) + P (A/) * PA/(B)}
[/mm]
Jetzt meine Frage:
Ist die Rechnung bis dahin richtig? Das mit der totalen Wahrscheinlichkeit?
Und was setze ich nun in den Satz von Bayes ein, um meinen gesuchten Wert herauszubekommen? Im BayesSatz müsste ich nämlich theoretisch wieder nur die Wahrscheinlichkeiten vom ersten Baum einsetzen, aber warum berechne ich dann die totale Wahrscheinlichkeit? Bitte um Hilfe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Di 15.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Stephanie,
> Eine noble Villa ist durch eine Alarmanlage gesichert.
> Diese gibt im Falle eines Einbruchs mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 99% Alarm. Jedoch muss mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 1% ein Fehlalarm einkalkuliert
> werden, wenn kein Einbruch stattfindet. Die
> Wahrscheinlichkeit für einen Einbruch liegt pro Nacht bei
> etwa 1:1000.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Falle eines
> Alarms tatsächlich ein Einbruch begangen wird?
> E = Einbruch ; E/ = kein Einbruch
> A = Alarm ; A/ = kein Alarm
> Gesucht ist der pink markierte Ast, also PA(E) => Alarm,
> wenn ein Einbruch stattfindet
> Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, benötige ich
> zuerst die totale Wahrscheinlichkeit für "Alarm" oder "kein
> Alarm", also für P(A) und P(A/).
P(A) reicht.
> P(A) = P(E) * PE(A) + P(E/) * PE/(A)
> = 0.001 * 0.99 + 0.999 * 0.01
> = 0.01098
> = 1,098 %
korrekt.
> So. Nun habe ich die Wahrscheinlichkeiten für P(A) und
> P(A/), also
> 1,098 % und 98,902% .
>
> Nun müsste ich den Satz von Bayes anwenden:
>
> PB(A) = [mm]\bruch{P(A) * PA(B)}{P(A) * PA(B) + P (A/) * PA/(B)}[/mm]
>
> Jetzt meine Frage:
> Ist die Rechnung bis dahin richtig? Das mit der totalen
> Wahrscheinlichkeit?
ja.
> Und was setze ich nun in den Satz von Bayes ein, um meinen
> gesuchten Wert herauszubekommen?
Erst mal ein kleiner Tipp: Mit deinen einbuchstabigen Abkürzungen bringst du dich nur selbst durcheinander.
Schreibe einfach mit einem ganzen Wort aus, was du meinst.
> Im BayesSatz müsste ich
> nämlich theoretisch wieder nur die Wahrscheinlichkeiten vom
> ersten Baum einsetzen, aber warum berechne ich dann die
> totale Wahrscheinlichkeit? Bitte um Hilfe.
Den Nenner im Satz von Bayes hast du soeben dort oben berechnet. Es ist
[mm] $P_{\text{Alarm}}(\text{Einbruch}) [/mm] = [mm] \frac{P(\text{Alarm} \cap \text{Einbruch})}{P(\text{Alarm})} [/mm] = [mm] \frac{0.001 * 0.99}{0.01098} \approx [/mm] 0.09016393443.$
LG
Will
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