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Hallo Leute
Ich habe heute ein paar Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gelöst. Leider ist mir der Unterschied zwischen bedingter Wahrscheinlichkeit / Unabhängigkeit noch nicht so ganz klar. Auch die Anwendung von p = (günstige Fälle / mögliche Fälle).
Ich habe dazu als Beispiel eine Aufgabe:
1. Gegeben sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Golfer bei windigem Wetter den Ball ins Loch schlägt 0.4, bei windstimmen Wetter 0.7. Wahrscheinlichkeit für windiges Wetter ist 0.3. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) der Golfspieler ins Loch trifft?
Lösung: Ich habe das Ganze über einen Baum gelöst.
Die ersten beiden Äste umfassen 0.3 und 0.7.
Der Ast 0.3 verzweigt sich in 0.4 (windig und trifft) und in 0.6 (windig und trifft nicht).
Der Ast 0.7 verzweigt sich in 0.7 (windstill und trifft) und in 0.3 (windstill und trifft nicht).
Danach habe ich geschaut, wo trifft er...
P = 0.3 * 0.4 + 0.7 * 0.7 = 0.61
Das stimmt ja auch so.
L = Loch getroffen
W = Windig, NW = Nicht windig
Anders geschrieben: P(L|W) * P(W) + P(L|NW) * P(NW) = P(G)
[mm] P(L\cap [/mm] W) + [mm] P(L\cap [/mm] NW) = P(G)
Teilaufgabe 2) windstilles Wetter herrscht, wenn der Golfer den Ball nicht ins Loch geschlagen hat?
Naja, zuerst dachte ich ... wieso rechne ich nicht 0.7*0.3 ...
Danach sah ich... hier wird folgendes gerechnet:
P (NW|NL) = [mm] P(NW\cap [/mm] NL) / (P (NW [mm] \cap [/mm] NL) + P(W [mm] \cap [/mm] NL))
Mir kommts vor, man macht hier: Anzahl günstige / Anzahl mögliche... aber wieso macht man dies bei dieser Teilaufgabe und oben konnte man alles einfach miteinander multiplizieren...
Ist das eine bedingt und das andere nicht? :D Also ich sehe da den Unterschied nicht.... Vielleicht kann mir da ja jemand helfen... Danke euch!
Wann kann man p = Anzahl günstige / Anzahl mögliche rechnen?
Danke. Liebe Grüsse
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Leider fehlt die genaue Frage 2. Ich stelle sie mal so:
Wie groß ist die W. dafür, dass es windstill ist, wenn der Spieler ins Loch trifft.
Statt mit Wahrscheinlichkeiten erkläre ich das mal mit Durchschnittswerten. Also:
An 100 Tagen ist es im Durchschnitt an 30 Tagen windig und an 70 Tagen windstill.
An den 30 windigen Tagen trifft unser Freund zu 40 %, also 12 mal.
An den 70 windstillen Tagen trifft er zu 70 %, also 49 mal.
Somit: An 100 Tagen trifft er durchschnittlich 61 mal.
Nun kommts: Wenn er getroffen hat, war die Wahrscheinlichkeit für einen windstilen Tag wie hoch?
Auf 61 Treffer unseres Freundes entfallen 49 auf die windstillen Tage. Das ist jetzt so, als hättest du eine Urne mit 61 Kugeln (Treffer), von denen 49 rot sind (windstill) und 12 blau (windig). Wie groß ist die W., dass du eine rote ziehst? Natürlich [mm] \bruch{49}{61}.
[/mm]
Das ist die bedingte W. für einen windstillen Tag. Unter der Bedingung, dass unser Freund getroffen hat, fallen alle Ereignisse, die zu Nicht-Treffern führen, weg. Es kommen nur noch die Fälle zum Zuge, die zum treffer führen. Dabei fragt man sich nun, welcher Teil davon woher kommt: ein Teil von windstillen, ein anderer von windigen Tagen.
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Hallöchen
Vielen Dank. Ja, die zweite Aufgabenstellung kommt an deine heran. Mein Problem ist halt.
Bei der ersten Teilaufgabe wird anders ausgedrückt:
P (A|B) = P(A) behandelt ... was doch irgendwie auf Unabhängigkeit deutet...
bei der zweiten Teilaufgabe muss man für P(A|B) = .... eine ganze Berechnung machen...
Und ich sehe halt da den Unterschied noch nicht.... ist das erste Unabhängig und das zweite bedingt? ...
Du hast mir ja bei der zweiten Teilaufgabe schön aufgezeigt... p = (günstige Fälle / mögliche Fälle)...
Aber irgendwie sehe ich bei der ersten Teilaufgabe nicht, wie ich das über günstige Fälle / mögliche Fälle lösen kann... Dort werden ja alle Wahrscheinlichkeiten entsprechend des Baumes multipliziert und zuunterst dann addiert.... :/
Weisst du was ich meine?
Liebe Grüsse und vielen Dank.:)
Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 02.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also bei der ersten Aufgabe sind aber auch bedingte Wahrscheinlichkeiten benutzt worden! Hier ist ja z.B. P(L)=0,61 (was du ja ausgerechnet hast), aber P(L|W) und P(L|NW) sind beide nicht 0,61.
Also die "ganze Berechnung", die du bei der zweiten Aufgabe machst, wurde bei der ersten auch gemacht.
Die Laplaceformel (günstige Fälle durch alle Fälle) brauchst du, um erst einmal auf Wahrscheinlichkeiten zu kommen. Aber in deinen Aufgaben hast du ja die Wahrscheinlichkeiten schon gegeben, daher musst du hier nichts mit der Laplaceformel machen.
Einfaches Beispiel:
Würfeln. Da kann man sich fragen:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine 4 gewürfelt hat, wenn man weiß, dass die gewürfelte Zahl gerade war?
Gesucht ist dann also P(4|g). (4 steht für 4 und g für gerade ;))
Dann hast du [mm] P(4|g)=\frac{P(4\cap g)}{P(g)}.
[/mm]
Da du nun [mm] $P(4\cap [/mm] g)$ und $P(g)$ nicht gegeben hast, musst du die Wahrscheinlichkeiten mit der Laplaceformel selber ausrechnen.
[mm] P(4\cap g)=P(4)=\frac{1}{6}, P(g)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \Rightarrow P(4|g)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.
[/mm]
Ist das mit dem Beispiel vielleicht etwas klarer?
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Du hast den ersten Teil selber richtig gelöst.
Weil der Erfolg vom Wind abhängt, ist die jeweilige Wahrscheinlichkeit in der 2. Stufe abhängig von der ersten, daher bedingte Wahrscheinlichkeit.
Wäre der Erfolg wetterunabhängig, z.B. Erfolg immer 25%, dann würdest du insgesamt auch auf 25 % beim Zusammenzählen kommen. Wolltest du daraus die W. errechnen, ob es windig war, ergäbe sich auch nur die allgemeine Windwahrscheinlichkeit. Ist die W. aber bedingt, lässt sich aus "Erfolg" eher auf einen windstillen Tag schließen.
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