Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 25.11.2012 | | Autor: | No_body2 |
| Aufgabe | (Ist eine selbsterstelle Aufgabe deswegen handelt es hier auch um eine eigene Formulierung)
Es gibt drei Urnen:
U1: 3 rote 2 weiße 5 gelbe Kugeln
U2: 1 rote 6 weiße 3 gelbe Kugeln
U3: 5 rote 3 weiße 2 gelbe Kugeln
Nun wird aus einer der Urnen zwei Kugeln mit zurücklegen gezogen.
Anschließend wird eine der anderen beiden Urne ausgewählt und es werden nun auch wieder zwei Kugeln gezogen.
Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit errechnen, dass ich mich nach den ersten zwei Ziehungen einer Urne z.b auf Urne 2 befinde? |
Beispiel für die Ziehungen: Urne x w,w
Urne y r,r
Wie ich die Wahrscheinlichkeit berechne, dass ich mich nach den erste zwei Kugeln z.b auf Urne 2 befinde ist mir glaub ich klar:
P(U2|w,w)= P(w,w|U2) * P(U2) / P(w,w)
P(U2|w,w) = ( 0, [mm] 6^2 [/mm] * 1/3) /
( 0, [mm] 6^2 [/mm] * 1/3 + 0, 2 ^2 * 1/3 + 0, [mm] 2^2 [/mm] * 1/3 )
P(U2|w,w) = 0, 735
analog:
P(U1|w,w) = 0, 082
P(U2|w,w) = 0, 735
P(U3|w,w) = 0, 184
Nun werde ich mir aber unsicher:
Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit berechnen dafür, dass ich z.b U1 zuerst gespielt habe und mich nun auf U3 befinde beziehungsweise gespielt habe?
Ich hab drei Lösungsansätze:
1:
P(U2|U1) = ( 0,082 * 0,5 * [mm] 0,1^2 [/mm] ) /
(0,082 * 0,5 * [mm] 0,1^2 [/mm] + 0,082 * 0,5 * [mm] 0,5^2 [/mm] + (1- 0, 082 ) [mm] *0,3^2 [/mm] )
P(U2|U1) = 0, 004
Analog:
P(U1|¬U1) = 0, 886
P(U2|U1) = 0, 004
P(U3|U1) = 0, 109
_____________________________________________
2:
P(U2|U1) = ( (1-0,082) * 0,5 * [mm] 0,1^2 [/mm] ) /
((1-0,082) * 0,5 * [mm] 0,1^2 [/mm] + (1-0,082)* 0,5 * [mm] 0,5^2 [/mm] + (0, 082 [mm] *0,3^2 [/mm] )
P(U2|U1) = 0, 036
Analog:
P(U1|¬U1) = 0, 058
P(U2|U1) = 0, 036
P(U3|U1) = 0, 906
_____________________________________
3: (Mein Favorit)
Ich rechne noch aus:
P(U1| r,r ) = 0,257
P(U2| r,r ) = 0,029
P(U3| r,r ) = 0,714
und dann errechne ich z.b
P(U3|U2) = P(U2|w,w) * P(U3| r,r )
/ (P(U2|w,w) * P(U3| r,r ) + P(U2|w,w) * P(U1| r,r )
P(U1|w,w) * P(U2| r,r ) + P(U1|w,w) * P(U3| r,r )
P(U3|w,w) * P(U2| r,r ) + P(U3|w,w) * P(U1| r,r ) )
P(U3|U2) = 0, 735*0,714 /
(0, 735*0,714 + 0, 735*0,257
0, 082*0,029 + 0, 082*0,714
0, 184*0,029 + 0, 184 * 0,257)
P(U3|U2) = 0.635
Analog:
P(U3|U1) = 0.071
P(U3|U2) = 0.635
P(U2|U1) = 0,003
P(U2|U3) = 0.006
P(U1|U2) = 0.228
P(U1|U3) = 0.057
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 So 25.11.2012 | | Autor: | pi-roland |
Hallo No_body2,
was ist eigentlich genau gefragt? Geht es dir um die gezogenen Kugeln, oder um die Urnen? Bei den Kugeln ist es erstmal zweitrangig, aus welcher Urne du in einem konkreten Beispiel als letztes ziehst. Wenn es dir um die Urnen geht und wann aus welcher gezogen wird, müsstest du angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit die drei verschiedenen Urnen ausgewählt werden. Meist ist diese Auswahl gleichwahrscheinlich. Vollkommen unwichtig ist dann aber der Inhalt der Urnen.
Hoffe auf interessante Fragestellungen,
[mm] \pi\mathrm{-rol}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mo 26.11.2012 | | Autor: | No_body2 |
Hallo $ [mm] \pi\mathrm{-rol} [/mm] $,
Ersteinmal vielen Dank für deine Hilfe!
Ich würde gerne z.b die Wahrscheinlichkeit dafür wissen, dass ich ww aus Urne 2 gezogen habe und rr danach aus U3.
Bevor ich überhaupt eine Kugel ziehe ist es gleich wahrscheinlich das ich eine Urne aus den Drei auswähle. Also P(U1)=P(U2)=P(U3)=1/3
Jedoch nach den ersten beiden Ziehungen, (hier ww) muss eine andere Urne der beiden gewählt werden.
Hier also ist die Wahrscheinlichkeit für die Urnen nicht mehr 1/3.
Nach den 4 Ziehungen hätte ich also gerne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich ww aus U2 gezogen haben und danach rr aus U3 und natürlich auch alle anderen möglichen wege
ww aus U1, rr aus U2
ww aus U1, rr aus U3
usw.
Um auf deine Frage zurück zu kommen... Ich glaube es handelt sich hier um die Wahrscheinlichkeit von Urne und Kugel.
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Guten Abend No_body2,
leider komme ich erst jetzt dazu dir zu antworten.
Hast du dir schon einmal überlegt, wie ein Baumdiagramm aussehen müsste, damit es dein Problem beschreibt?
Zu deiner konkreten Aufgabe (ww aus [mm] U_1 [/mm] und danach rr aus [mm] U_3):
[/mm]
Die Urnen werden ohne Zurücklegen gewählt, die Farben daraus mit Zurücklegen. Das macht sich im Baumdiagramm bemerkbar.
[mm] P(U_1)=\frac{1}{3}
[/mm]
[mm] P(ww|U_1)=\left(\frac{2}{10}\right)^2=\frac{1}{25}
[/mm]
Das nun aus [mm] U_3 [/mm] gezogen wird geschiet zu einer Wahrscheinlichkeit von
[mm] P(U_3)=\frac{1}{2}
[/mm]
Daraus zwei rote Kugeln:
[mm] P(rr|U_3)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}
[/mm]
Das sind die Wahrscheinlichkeiten für jeden einzelnen Knotenpunkt des von dir gewählten Astes im Baumdiagramm. Entlang dieses Pfades wird multipliziert:
[mm] P=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{25}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{600}
[/mm]
Fragst du allgemein nach dem Ereignis wwrr, mit der Einschränkung, dass nach jeweils zwei Ziehungen die Urne gewechselt werden muss, dann gehören weitere Pfade zu dem Ereignis und diese werden zusammen addiert.
Ich hoffe dir ist damit vorerst geholfen, ansonsten frag ruhig nochmal nach.
Schönen Abend,
[mm] \pi\mathrm{-rol}
[/mm]
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