Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 03.08.2004 | | Autor: | hoppi |
Hallo erstmal!
Bin neu angemeldet, habe aber schon zahlreiche Forenbeiträge gelesen, die mir bei meiner Examensvorbereitung (hoffentlich) helfen können.
Bin nun bei bedingten Wahrscheinlichkeiten angelangt.
Dazu habe ich mir einige Aufgaben aus dem Internet besorgt (diese Aufgabe stammt vom Internatsgymnasium Schloß Torgelow), wobei ich bei folgender Aufgabe irgendwie nicht so recht weiterkomme...
Aufgabe:
Ein Gerät ist mit der Wahrscheinlichkeit von 8,8% unbrauchbar. Beim Test wird ein brauchbares Gerät versehentlich mit 4% Wahrscheinlichkeit ausgesondert. Insgesamt werden 10% aller Geräte ausgesondert.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein unbrauchbares Gerät ausgesondert?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein ausgesondertes Gerät unbrauchbar.
Scheinbar verstehe ich die Grundproblematik nicht.
Ist gemeint, dass 10% aller Geräte ausgesondert werden, unabhängig davon, ob sie brauchbar sind, oder nicht?
Wenn dem so wäre, dann müsste die Lösung für b) sein:
P(ausgesondert und unbrauchbar) = 1- (1/10 (ausgesonderte Geräte) x 4/100 (ausgesonderte Geräte, die brauchbar sind))
Ich befürchte allerdings, dass ich damit daneben liege.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Jörg!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe:
> Ein Gerät ist mit der Wahrscheinlichkeit von 8,8%
> unbrauchbar. Beim Test wird ein brauchbares Gerät
> versehentlich mit 4% Wahrscheinlichkeit ausgesondert.
> Insgesamt werden 10% aller Geräte ausgesondert.
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein unbrauchbares
> Gerät ausgesondert?
> b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein ausgesondertes
> Gerät unbrauchbar.
>
> Scheinbar verstehe ich die Grundproblematik nicht.
>
> Ist gemeint, dass 10% aller Geräte ausgesondert werden,
> unabhängig davon, ob sie brauchbar sind, oder nicht?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So verstehe ich es auch.
> Wenn dem so wäre, dann müsste die Lösung für b) sein:
>
> P(ausgesondert und unbrauchbar) = 1- (1/10 (ausgesonderte
> Geräte) x 4/100 (ausgesonderte Geräte, die brauchbar
> sind))
Nein, das stimmt nicht. Bei b) ist nach der bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt, nicht nach dem Schnitt.
Aber der Reihe nach. Ich definiere erst mal Ereignisse, damit ich nicht so viel schreiben muss:
U: Gerät ist unbrauchbar
A: Gerät wird ausgesondert
Jetzt schauen wir mal, welche Wkt. in der Aufgabe gegeben sind. Zunächst: $P(U)=0.088$. Daraus folgt direkt [mm] $P(U^c)=0.912$ ($U^c$ [/mm] ist das Komplementärereignis, also dass ein Gerät brauchbar ist). Die 4% sind die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gerät ausgesondert wird, obwohl es brauchbar ist. Dass dies eine bed. Wkt. ist, erkennst Du daran, dass von vorn herein von einem "brauchbaren Gerät" die Rede ist, d.h. man beschränkt sich auf die Gesamtheit der brauchbaren Geräte und gibt für diese Menge eine Wkt. an. Also: [mm] $P(A|U^c)=0.04$. [/mm] Wie Du ja auch festgestellt hast, ist die letzte Wkt. $P(A)=0.1$. Wenn Du Dir dazu einen Baum vorstellen möchtest, verzweigt die erste Stufe nach $U$ und [mm] $U^c$ [/mm] (mit den o.a. Wkt.) und die zweite jeweils nach $A$ und [mm] $A^c$. [/mm] Allerdings kennen wir nur bei dem Teil des Baumes unter [mm] $U^c$ [/mm] die bedingten Wkt. Da passt es ganz gut, dass in a) gerade nach der anderen bedingten Wkt., nämlich $P(A|U)$ (beachte wieder die Formulierung) gefragt wird.
Nach der Regel von der vollständigen Wkt. (kannst auch einfach die Zweige im Baum ablaufen, die zu $A$ führen), gilt:
[mm]P(A)=P(A|U)\cdot P(U) + P(A|U^c)\cdot P(U^c)[/mm]
Mit unseren Werten folgt:
[mm]0.1=P(A|U)\cdot 0.088 + 0.04\cdot 0.912[/mm]
Jetzt musst Du nur noch nach $P(A|U)$ auflösen.
Weißt Du nun, welche Wkt. in b) gesucht ist? Zur Berechnung empfehle ich die Formel von Bayes 
Melde Dich wieder, wenn Du Ergebnisse hast.
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 03.08.2004 | | Autor: | hoppi |
Hallo Brigitte!
Zunächst einmal ein großes "Danke" für die Hilfe.
Ich denke, nach einigem Hin-und Herüberlegen habe ich es (zumindest ansatzweise) verstanden...
Demnach müsste die Lösung für b) folgendermaßen lauten:
P(U/A)= P(U) x P(A/U) / P(A)
Entschuldigt bitte die Schreibweise, aber im Moment hab ich zu wenig Zeit, um mich noch in die Sonderzeichen einzuarbeiten....
 )
Gruß
hoppi
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