Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 13.11.2012 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Sei P(a, b, c) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Zufallsvariablen a, b, c. In welcher Beziehung stehen die bedingten diskreten Wahrscheinlichkeiten P(a|b, c) und P(a|b)?
Lösungsansatz:
(1) P(a|b) = [mm] \sum_c [/mm] P(a, c|b)P(c|b)
Nun möchte ich in der obigen Summe von P(a, c|b) nach P(a|b,c) kommen:
(2) P(a, c| b) = P(a|b, c) P(c|b)
Setze ich (2) in (1) ein, dann erhalte ich:
(3) P(a|b) = [mm] \sum_c P(a|b,c)P(c|b)^2
[/mm]
Sieht komisch aus. Mein Problem ist (2). Wie komme ich von P(a, c|b) nach P(a|b,c) ?
Danke und Gruss,
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo BJJ,
was bedeuten die Notationen P(a,b,c), P(a|b, c) und P(a|b) für Zufallsvariablen a,b,c?
Oder sollen a,b,c doch Ereignisse sein?
Poste bitte die Aufgabe im Originalwortlaut.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Do 15.11.2012 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
es gibt keine Originalaufgabe. Ich versuche etwas zu verstehen und habe das Problem aus einem größeren Kontext vereinfacht dargestellt. Dabei sind a, b, c Zufallsvariablen.
Gruß
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> es gibt keine Originalaufgabe. Ich versuche etwas zu
> verstehen und habe das Problem aus einem größeren Kontext
> vereinfacht dargestellt. Dabei sind a, b, c
> Zufallsvariablen.
O.K.
Aber was meinst du nun mit den Notationen P(a, b, c), P(a|b, c) und P(a|b)?
Ich kenne nur Notationen wie [mm] $P^a$, $P^{(a,b,c)}$, $P(A\cap B\cap [/mm] C)$, [mm] $P^{a|B}$ [/mm] oder $P(A|B)$ für Zufallsvariablen a, b, c und Ereignisse A, B, C mit P(B)>0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Do 15.11.2012 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
danke für Deine Zeit.
Die Zufallsvariablen a, b, c, sind diskret. Dabei gelte:
P(a, b) entspricht P(A [mm] \cap [/mm] B)
P(a | b) entspricht [mm] P_{A|B}(A|B)
[/mm]
Gruß
bjj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo BJJ!
> Die Zufallsvariablen a, b, c, sind diskret. Dabei gelte:
> P(a, b) entspricht P(A [mm] \cap [/mm] B)
> P(a | b) entspricht [mm] P_{A|B}(A|B)
[/mm]
Mit [mm] $P_{A|B}(A|B)$ [/mm] meinst du die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter B, oder? Ich kenne da nur die Notation $P(A|B)$.
Ich weiß zwar immer noch nicht, welche Ereignisse A und B nun sind und was z.B. [mm] $P(A\cap [/mm] B)$ mit den Zufallsvariablen a und b zu tun hat, aber ich versuche trotzdem mal eine Antwort. Dabei ersetze ich jedes Vorkommen von a, b und c sowie von Kommata gedanklich durch Ereignisse A, B und C sowie [mm] $\cap$.
[/mm]
> Sei P(a, b, c) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über
> Zufallsvariablen a, b, c. In welcher Beziehung stehen die
> bedingten diskreten Wahrscheinlichkeiten P(a|b, c) und
> P(a|b)?
>
> Lösungsansatz:
>
> (1) P(a|b) = [mm]\sum_c[/mm] P(a, c|b)P(c|b)
Jetzt gibt es eine Menge [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] von Ereignissen C? Und über alle [mm] $C\in\mathcal{C}$ [/mm] wird die Summe gebildet?
Offenbar soll [mm] $\left(\bigcup_{C\in\mathcal{C}}C\right)\supseteq [/mm] A$ gelten, so dass A die disjunkte Vereinigung der [mm] $A\cap [/mm] C$, [mm] $C\in\mathcal{C}$, [/mm] ist?
Dann würde die Gleichung (1) stimmen, wenn du das P(C|B) am Ende weglassen würdest.
> Nun möchte ich in der obigen Summe von P(a, c|b) nach
> P(a|b,c) kommen:
>
> (2) P(a, c| b) = P(a|b, c) P(c|b)
Das stimmt.
> Setze ich (2) in (1) ein, dann erhalte ich:
>
> (3) P(a|b) = [mm]\sum_c P(a|b,c)P(c|b)^2[/mm]
>
> Sieht komisch aus. Mein Problem ist (2). Wie komme ich von
> P(a, c|b) nach P(a|b,c) ?
Indem du für [mm] $P(A\cap [/mm] C|B)$ und [mm] $P(A|B\cap [/mm] C)$ die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit einsetzt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Do 15.11.2012 | | Autor: | BJJ |
Hi Tobias,
vielen Dank für Deine Mühe!
> Mit [mm]P_{A|B}(A|B)[/mm] meinst du die bedingte Wahrscheinlichkeit
> des Ereignisses A unter B, oder? Ich kenne da nur die
> Notation [mm]P(A|B)[/mm].
Genau.
> Ich weiß zwar immer noch nicht, welche Ereignisse A und B
> nun sind und was z.B. [mm]P(A\cap B)[/mm] mit den Zufallsvariablen a
> und b zu tun hat, aber ich versuche trotzdem mal eine
> Antwort. Dabei ersetze ich jedes Vorkommen von a, b und c
> sowie von Kommata gedanklich durch Ereignisse A, B und C
> sowie [mm]\cap[/mm].
Ich habe für Zufallsvariable A und Ereignis A = a die gleiche Notation verwendet.
> > Sei P(a, b, c) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über
> > Zufallsvariablen a, b, c. In welcher Beziehung stehen die
> > bedingten diskreten Wahrscheinlichkeiten P(a|b, c) und
> > P(a|b)?
> >
> > Lösungsansatz:
> >
> > (1) P(a|b) = [mm]\sum_c[/mm] P(a, c|b)P(c|b)
> Jetzt gibt es eine Menge [mm]\mathcal{C}[/mm] von Ereignissen C?
> Und über alle [mm]C\in\mathcal{C}[/mm] wird die Summe gebildet?
In Deiner Schreibweise müsste das so aussehen:
[mm] P(A | B = b) = \sum_c P(A, C = c | B = b) P(C = c | B = b)[/mm]
> Dann würde die Gleichung (1) stimmen, wenn du das P(C|B)
> am Ende weglassen würdest.
Warum muss das P(C = c | B = b) weg? Mit der obigen Gleichung versuche ich eine Marginalverteilung zu bauen.
Gruss
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Ich weiß zwar immer noch nicht, welche Ereignisse A und B
> > nun sind und was z.B. [mm]P(A\cap B)[/mm] mit den Zufallsvariablen a
> > und b zu tun hat, aber ich versuche trotzdem mal eine
> > Antwort. Dabei ersetze ich jedes Vorkommen von a, b und c
> > sowie von Kommata gedanklich durch Ereignisse A, B und C
> > sowie [mm]\cap[/mm].
>
> Ich habe für Zufallsvariable A und Ereignis A = a die
> gleiche Notation verwendet.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Wir sind uns aber schon einig, dass Ereignisse und Zufallsvariablen völlig unterschiedliche Dinge sind?
> > > Lösungsansatz:
> > >
> > > (1) P(a|b) = [mm]\sum_c[/mm] P(a, c|b)P(c|b)
> > Jetzt gibt es eine Menge [mm]\mathcal{C}[/mm] von Ereignissen C?
> > Und über alle [mm]C\in\mathcal{C}[/mm] wird die Summe gebildet?
>
> In Deiner Schreibweise müsste das so aussehen:
>
> [mm]P(A | B = b) = \sum_c P(A, C = c | B = b) P(C = c | B = b)[/mm]
Das hoffe ich nicht. In meiner Schreibweise gibt es zwar Ereignisse wie [mm] $\{a=5\}$ [/mm] (falls a Werte in den reellen Zahlen annimmt), aber ein Ereignis der Art [mm] $\{A=a\}$, [/mm] wobei A ein Ereignis und a eine Zufallsvariable ist, gibt es nicht. Ich stehe wieder vor einem Rätsel, was deine Notationen bedeuten sollen.
> > Dann würde die Gleichung (1) stimmen, wenn du das P(C|B)
> > am Ende weglassen würdest.
>
> Warum muss das P(C = c | B = b) weg?
Die Zuordnung [mm] $\mathcal{P}(\Omega)\to[0,1],\;D\mapsto [/mm] P(D|B)$ bildet eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf [mm] $\Omega$, [/mm] wie in der Vorlesung gezeigt worden sein sollte. Da A die disjunkte Vereinigung der [mm] $A\cap [/mm] C$ für [mm] $C\in\mathcal{C}$ [/mm] ist (und [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] hoffentlich abzählbar ist), gilt somit aufgrund Sigma-Additivität der Verteilung [mm] $P(A|B)=\summe_{C\in\mathcal{C}}P(A\cap [/mm] C|B)$.
> Mit der obigen
> Gleichung versuche ich eine Marginalverteilung zu bauen.
Um dir dabei zu helfen, müsste man den genaueren Kontext kennen.
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