Bedingte Wkt BSE-Test mit Lsg. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 So 15.11.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | | Während der so genannten BSE-Krise zeigte sich bei durchschnittlich 2 von 1000 geschlachteten Rindern die BSE-Krankheit. Ein neu entwickelter Schnelltest erkennt eine vorhandene Infektion zu 98; 5%. Andererseits identifiziert der Test gesunde Rinder zu 99; 9% richtig. Wenn ein Test eine Erkrankung anzeigt, nennt man das Ergebnis „positiv“. Nimm an, es werden vorsichtshalber viele Rinder eines Bestandes getestet, noch bevor irgendwelche Symptome vorliegen. Wie sollte man ein positives bzw. negatives Ergebnis einschätzen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
schon wieder eine Frage, diesmal mit Lösung und bitte um Überprüfung:
K="krank", [mm] K^{c}="gesund"
[/mm]
T="Test positiv", [mm] T^{c}="Test [/mm] negativ"
Bekannt:
P(K)=0,002 => [mm] P(K^{c})=0,998
[/mm]
[mm] P(T^{c}|K^{c})=0,999 [/mm] => [mm] P(T|K^{c})=1-0,999=0,001
[/mm]
P(T|K)=0,985 => [mm] P(T^{c}|K)=0,015 [/mm] (kann man das so machen?)
Es folgt:
[mm] P(K|T)=\bruch{P(K\cap T)}{P(T)}=\bruch{P(T|K)P(K)}{P(T)}=\bruch{P(T|K)P(K)}{P(T|K)P(K)+P(T|K^{c})P(K^{c})}=0,6637
[/mm]
Also sind von allen Rindern, die positiv getestet wurden nur ca. 66,37% tatsächlich erkrankt. Ist das richtig?
[mm] P(K|T^{c})=...analog=0,00003
[/mm]
Also sond von allen Rindern, die negativ getestet wurden nur ca. 0,003% tatsächlich krank.
Ist dann: [mm] P(K^{c}|T)=1-0,6637 [/mm] und [mm] P(K^{c}|T^{c})=1-0,00003
[/mm]
Danke und Gruß
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Hallo!
> Während der so genannten BSE-Krise zeigte sich bei
> durchschnittlich 2 von 1000 geschlachteten Rindern die
> BSE-Krankheit. Ein neu entwickelter Schnelltest erkennt
> eine vorhandene Infektion zu 98; 5%. Andererseits
> identifiziert der Test gesunde Rinder zu 99; 9% richtig.
> Wenn ein Test eine Erkrankung anzeigt, nennt man das
> Ergebnis „positiv“. Nimm an, es werden vorsichtshalber
> viele Rinder eines Bestandes getestet, noch bevor
> irgendwelche Symptome vorliegen. Wie sollte man ein
> positives bzw. negatives Ergebnis einschätzen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> schon wieder eine Frage, diesmal mit Lösung und bitte um
> Überprüfung:
>
> K="krank", [mm]K^{c}="gesund"[/mm]
> T="Test positiv", [mm]T^{c}="Test[/mm] negativ"
>
> Bekannt:
> P(K)=0,002 => [mm]P(K^{c})=0,998[/mm]
> [mm]P(T^{c}|K^{c})=0,999[/mm] => [mm]P(T|K^{c})=1-0,999=0,001[/mm]
> P(T|K)=0,985 => [mm]P(T^{c}|K)=0,015[/mm] (kann man das so
> machen?)
Das ist soweit alles richtig.
Du darfst auch jeweils aus P(T|K)=0,985 entsprechend [mm] P(T^{c}|K)=0,015 [/mm] folgern, weil du Additivität in der ersten Komponente hast (Es können nur T oder [mm] T^{c} [/mm] auftreten, also ergeben sie zusammen 1).
> Es folgt:
> [mm]P(K|T)=\bruch{P(K\cap T)}{P(T)}=\bruch{P(T|K)P(K)}{P(T)}=\bruch{P(T|K)P(K)}{P(T|K)P(K)+P(T|K^{c})P(K^{c})}=0,6637[/mm]
>
> Also sind von allen Rindern, die positiv getestet wurden
> nur ca. 66,37% tatsächlich erkrankt. Ist das richtig?
Richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> [mm]P(K|T^{c})=...analog=0,00003[/mm]
>
> Also sond von allen Rindern, die negativ getestet wurden
> nur ca. 0,003% tatsächlich krank.
Auch richtig.
> Ist dann: [mm]P(K^{c}|T)=1-0,6637[/mm] und [mm]P(K^{c}|T^{c})=1-0,00003[/mm]
Ja, das ist es. Wie gesagt, du hast Additivität in der ersten Komponente, unter der Voraussetzung dass T eingetreten ist kann bei deinem Beispiel nur K oder [mm] K^{c} [/mm] eintreten, also ist [mm] P(K^{c}|T) [/mm] + P(K|T) = 1.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 So 15.11.2009 | | Autor: | Peon |
OK, vielen Dank für die schnelle Antwort!
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