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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 So 30.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
habe eine Frage zur Definition des bedingten Erwartungswertes.
Seien [mm]X\in{} L^1(\Omega,\mathcal{A},P) \; \textrm{und} \; \mathcal{F}\subset\mathcal{A} \; \textrm{Teil-}\sigma\textrm{-Algebra}.[/mm] Es exisitiert genau eine Zufallsvariable [mm]X_0[/mm] mit
(i) [mm]X_0[/mm] ist [mm]\mathcal{F}-\textrm{messbar}[/mm] und (ii)...
Was bedeutet in diesem Zusammenhang messbar? Ich weiß, was Messbarkeit bzgl. einer Abbild bedeutet, aber hier..?
Zumal auch gilt: Ist X [mm]\mathcal{F}-\textrm{messbar}[/mm], so folgt [mm]E(X,\mathcal{F})=X[/mm]. Warum gilt das? Das muss ja irgendwas mit der Definition zu tun haben!?
Würde mich freuen, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank und viele Grüße,
barsch
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> Hallo,
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> habe eine Frage zur Definition des bedingten
> Erwartungswertes.
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> Seien [mm]X\in{} L^1(\Omega,\mathcal{A},P) \; \textrm{und} \; \mathcal{F}\subset\mathcal{A} \; \textrm{Teil-}\sigma\textrm{-Algebra}.[/mm]
> Es exisitiert genau eine Zufallsvariable [mm]X_0[/mm] mit
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> (i) [mm]X_0[/mm] ist [mm]\mathcal{F}-\textrm{messbar}[/mm] und (ii)...
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> Was bedeutet in diesem Zusammenhang messbar? Ich weiß, was
> Messbarkeit bzgl. einer Abbild bedeutet, aber hier..?
Genau das ist hier gemeint. X und [mm] X_0 [/mm] sind Abbildungen von [mm] \Omega [/mm] nach R, d.h. [mm] X_0\ \mathcal{F}-messbar [/mm] bedeutet
[mm] X_0^{-1}(B)=\{\omega: X_0(\omega)\in B\}\in\mathcal{F} [/mm] für jede Borel-Menge [mm] B\subset [/mm] R.
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> Zumal auch gilt: Ist X [mm]\mathcal{F}-\textrm{messbar}[/mm], so
> folgt [mm]E(X,\mathcal{F})=X[/mm]. Warum gilt das? Das muss ja
> irgendwas mit der Definition zu tun haben!?
X [mm] \mathcal{F}-messbar [/mm] heißt ja gerade, dass X die Bedingung (i) erfüllt. Und die oben nicht aufgeführte Bedingung (ii) wird von X in jedem Fall erfüllt.
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> Würde mich freuen, wenn mir da jemand auf die Sprünge
> helfen könnte.
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> Vielen Dank und viele Grüße,
> barsch
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