Bedingter Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X1 , . . . , Xn unabhängig, und jedes [mm] X_i \sim [/mm] Bin(1, p). Sei S = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] Xi die Summe, und R die Anzahl der Runs. Ein Run in einer Ergebnisfolge x1 , . . . , [mm] x_n [/mm] ist ein maximaler Abschnitt, der nur aus Nullen oder nur aus Einsen besteht. So hat z.B die Folge 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1 genau 8
Runs. Bestimmen Sie für jedes k [mm] \in [/mm] {1, 2, . . . , n} den bedingten Erwartungswert E(R [mm] \| [/mm] S = k). |
Zunächst einmal gilt
[mm] E(R|S=k)=\bruch{P(S=k,R=r)}{P(S=k)}
[/mm]
Für den Nenner gilt:
[mm] P(S=k)=\vektor{n \\ k}*p^s*(1-p)^{n-s}, [/mm] da hier die Wahrscheinlichkeit gesucht ist, genau k 1en in der Ergebnisfolge [mm] x_1,...,x_n [/mm] zu haben.
Nun zu dem Zähler:
Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, genau k 1en zu haben und dabei r Runs zu erhalten.
Die Anzahl der Runs in einer Ergebnisfolge [mm] x_1,...,x_n [/mm] kann man durch [mm] 1+\summe_{i=1}^{n-1} |x_i-x_{i+1}| [/mm] ermitteln. Aber wie komme ich nun auf die Wahrscheinlichkeit P(S=k,R=r)? Ich habe mir überlegt irgendwie von der Anzahl der Möglichkeiten, dass man k 1en hat, diejenigen Kombinationen abzuziehen, für die es nicht r Runs gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 13.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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