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Hallo Zusammen.
Ich sollte für die Funktion f(x,y)= e^(2x+3y)*(8x²-6xy+3y²) zunächst alle partiellen Ableitungen der 1. und 2. Ordnung berechnen, und nun die kritischen Punkte bzw. Bedingung erster Ordnung bestimmen.
Meine Ideen:
Für einen inneren Punkt muss gelten, dass f1'(x,y)=0 u. f2'(x,y)=0.
Meine errechneten part. Ableitungen 1. Ordnung, für dieses Gleichungssystem sind:
f1'(x,y)= 2e^(2x+3y)*(8x²-6xy+3y²)+e^(2x+3y)*(16x-6y)=0
f2'(x,y)= 3e^(2x+3y)*(8x²-6xy+3y²)+e^(2x+3y)*(-6x+6y)=0
Beide Ableitungen vereinfacht, Vorfaktoren 2 u. 3 in Klammer eingerechnet, anschließend e^(2x+3y)herausgekürzt ergaben das folgende Gleichungssystem:
16x²-12xy+6y²+16x-6y=0 (1)
24x²-18xy+9y²-6x +6y=0 (2)
Nun sehe ich wahrscheinlich den Wald voller Bäume nicht mehr, denn ich bekomme dieses Ding nicht gelöst, und die überflüssigen Variablen nicht gekürzt. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet. Vielleicht habe ich mich schon davor, beim Vereinfachen vertan oder es muss ein ganz anderer Lösungsweg sein, oder ich komme einfach nicht auf den letzten Schritt, wie ich weiter auflöse.
Vielen Dank für klärende Denkanstöße!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=534206
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Mo 06.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo Zusammen.
> Ich sollte für die Funktion f(x,y)=
> e^(2x+3y)*(8x²-6xy+3y²) zunächst alle partiellen
> Ableitungen der 1. und 2. Ordnung berechnen, und nun die
> kritischen Punkte bzw. Bedingung erster Ordnung bestimmen.
>
> Meine Ideen:
> Für einen inneren Punkt muss gelten, dass f1'(x,y)=0 u.
> f2'(x,y)=0.
> Meine errechneten part. Ableitungen 1. Ordnung, für
> dieses Gleichungssystem sind:
>
> f1'(x,y)= 2e^(2x+3y)*(8x²-6xy+3y²)+e^(2x+3y)*(16x-6y)=0
> f2'(x,y)= 3e^(2x+3y)*(8x²-6xy+3y²)+e^(2x+3y)*(-6x+6y)=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Schreibweise gefällt mir nicht besonders, aber es ist richtig!
>
> Beide Ableitungen vereinfacht, Vorfaktoren 2 u. 3 in
> Klammer eingerechnet, anschließend e^(2x+3y)herausgekürzt
> ergaben das folgende Gleichungssystem:
>
> 16x²-12xy+6y²+16x-6y=0 (1)
> 24x²-18xy+9y²-6x +6y=0 (2)
Tipp: Denk mal ganz ganz simpel!
Denk nochmal nach, ansonsten guck ganz weit unten 
>
> Nun sehe ich wahrscheinlich den Wald voller Bäume nicht
> mehr, denn ich bekomme dieses Ding nicht gelöst, und die
> überflüssigen Variablen nicht gekürzt. Es wäre sehr
> nett, wenn ihr mir helfen könntet. Vielleicht habe ich
> mich schon davor, beim Vereinfachen vertan oder es muss ein
> ganz anderer Lösungsweg sein, oder ich komme einfach nicht
> auf den letzten Schritt, wie ich weiter auflöse.
Es fehlen dir die partiellen Ableitungen der zweiten Ordnung.
Der Begriff Hesse-Matrix sagt dir sicher was!
>
> Vielen Dank für klärende Denkanstöße!
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=534206
$(x,y)=(0,0)$
DieAcht
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Hallo Fabi,
dieAcht hat schon eine Lösung verraten. Doch die zweite Lösung ist nicht so offensichtlich.
Eine gute Methode ist, zunächst die Koeffizienten vor dem [mm] x^2 [/mm] auf 1 zu transformieren. Dividiere also (1) durch 16 und die Gleichung (2) durch 24. Dann kannst du Gleichung (1)' von Gleichung (2)' subtrahieren. Du bekommst ein sehr schönes Resultat. (2x=y)
Dies kannst du dann wieder in Gleichung (1) oder (2) einsetzen um so, je nachdem wie du einsetzt, x oder y zu bestimmen.
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Vielen Dank!
Das waren genau die nötigen Schritte, auf die ich nicht mehr gekommen bin!
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