Bedingung fuer Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Do 13.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
gegeben sei eine Matrix [mm] $A\in\IC^{n\times n}$. [/mm] Weiter sei diese Matrix
diagonalisierbar, d.h. [mm] $\exists\,T\in\IC^{n\times n}$ [/mm] invertierbar und [mm] $\exists\,D=\mathrm{Diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)\in\IC^{n\times n}$ [/mm] Diagonalmatrix mit [mm] $T^{-1}AT=D$.
[/mm]
Meine Frage lautet: Unter welchen zusaetzlichen Bedingungen laesst sich [mm] $\mathrm{\mu_i}>0$ [/mm] fuer [mm] $i=1\ldots,n$ [/mm] schliessen?
Vielen Dank vorab schon einmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Do 13.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Wenn [mm]\mu_i \in \IC[/mm], dann hat [mm]\mu_i>0[/mm] keinen Sinn! Meinst du [mm]|\mu_i|>0[/mm]?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn [mm]\mu_i \in \IC[/mm], dann hat [mm]\mu_i>0[/mm] keinen Sinn!
Aber Hallo, natürlich macht das Sinn ! [mm] \IR [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] \IC
[/mm]
Ist $z=x+i*0$ und x=Re(z)>0 , so ist doch z [mm] \in \IC [/mm] und z=x>0
FRED
Hab mich verklickt, das ist natürlich keine Frage !
> Meinst du
> [mm]|\mu_i|>0[/mm]?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Do 13.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
> > Wenn [mm]\mu_i \in \IC[/mm], dann hat [mm]\mu_i>0[/mm] keinen Sinn!
>
>
> Aber Hallo, natürlich macht das Sinn ! [mm]\IR[/mm] ist eine
> Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
>
> Ist [mm]z=x+i*0[/mm] und x=Re(z), so ist doch z [mm]\in \IC[/mm] und z=x>0
>
Da schummelst du aber. Im Endeffekt betrachtest du ja wieder nur den Fall [mm]z\in \IR[/mm]. Mir ist schon klar, dass [mm]\IR\subset \IC[/mm] gilt. Aber wer sagt denn, dass die Eigenwerte hier reell sein müssen? Wie ordnest du [mm]z=x+yi\in \IC[/mm] mit [mm]xy\neq 0[/mm], [mm]x,y\in \IR[/mm] an?
Das charakteristische Polynom zerfällt ja nun vollständig hier im komplexen. Also darf es ja auch komplexe Nullstellen haben.
Oder gab es doch eine Anordnung in [mm] $\IC$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > > Wenn [mm]\mu_i \in \IC[/mm], dann hat [mm]\mu_i>0[/mm] keinen Sinn!
> >
> >
> > Aber Hallo, natürlich macht das Sinn ! [mm]\IR[/mm] ist eine
> > Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
> >
> > Ist [mm]z=x+i*0[/mm] und x=Re(z), so ist doch z [mm]\in \IC[/mm] und z=x>0
> >
> Da schummelst du aber.
Nein
> Im Endeffekt betrachtest du ja
> wieder nur den Fall [mm]z\in \IR[/mm]. Mir ist schon klar, dass
> [mm]\IR\subset \IC[/mm] gilt. Aber wer sagt denn, dass die
> Eigenwerte hier reell sein müssen? Wie ordnest du
> [mm]z=x+yi\in \IC[/mm] mit [mm]xy\neq 0[/mm], [mm]x,y\in \IR[/mm] an?
> Das charakteristische Polynom zerfällt ja nun
> vollständig hier im komplexen. Also darf es ja auch
> komplexe Nullstellen haben.
> Oder gab es doch eine Anordnung in [mm]\IC[/mm]?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Do 13.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Jetzt bin ich total verunsichert. [mm] $\IC$ [/mm] ist kein angeordneter Körper. (allgemein ist ja kein algebraisch abgeschlossener Körper geordnet). Wenn i ein Eigenwert ist. Wie sieht das dann aus? ist i>0 oder i<0??
Für Hermitesche Matrizen ist das ja okay. Die haben ja nur reelle Eigenwerte. Aber diese Voraussetzung war hier nicht gegeben.
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> Jetzt bin ich total verunsichert. [mm]\IC[/mm] ist kein angeordneter
> Körper. (allgemein ist ja kein algebraisch abgeschlossener
> Körper geordnet). Wenn i ein Eigenwert ist. Wie sieht das
> dann aus? ist i>0 oder i<0??
Hallo,
weder das eine noch das andere.
Das ist ja keine Neuigkeit...
Irgendwie habe ich den Eindruck, daß die Energien hier gerade an der falschen Stelle verbraucht werden.
Formulieren wir Dennis' Frage doch einfach etwas anders, damit sich dem eigentlichen Problem zugewendet werden kann:
Man hat eine Matrix A mit Einträgen aus [mm] \IC, [/mm] welche diagonalisierbar ist, für welche es also eine invertierbare Matrix T mit Einträgen aus [mm] \IC [/mm] gibt, so daß
[mm] A=T^{-1}*diag(\lambda_1,..., \lambda_n)*T.
[/mm]
Und nun fragt man sich: unter welchen Voraussetzungen an A sind die Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] allesamt reell und größer als 0?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt bin ich total verunsichert. [mm]\IC[/mm] ist kein angeordneter
> Körper.
Stimmt
> (allgemein ist ja kein algebraisch abgeschlossener
> Körper geordnet). Wenn i ein Eigenwert ist. Wie sieht das
> dann aus? ist i>0 oder i<0??
Was soll das ? Darum gehts doch gar nicht.
Es gibt nun mal komplexe Matrizen , mit positiven Eigenwerten, z.B.:
[mm] \pmat{ 1 & i \\ 0 & 4 }
[/mm]
FRED
>
> Für Hermitesche Matrizen ist das ja okay. Die haben ja nur
> reelle Eigenwerte. Aber diese Voraussetzung war hier nicht
> gegeben.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Fr 14.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Was soll das ? Darum gehts doch gar nicht.
Doch darum geht es.
> Es gibt nun mal komplexe Matrizen , mit positiven Eigenwerten, z.B.:
Das bezweifle ich nicht.
Dann bin ich jetzt mal ganz pingelig:
Sei [mm]A=\pmat{i &0\\
0&i}\in\IC[/mm] D=A und T=Einheitsmatrix, dann ist doch auch [mm]T^{-1}AT=D[/mm]. Dann kann man die Aufgabe nicht so formulieren. Wie sehen jetzt die [mm] $\mu_i$ [/mm] aus? Niemand sagt, dass die Eigenwerte reell sind (oder äquivalent dazu, dass die Matrix hermitesch ist).
Ich habe lediglich (sogar als Mitteilung) angemerkt, dass die Aufgabe, in dieser Form, wie sie da steht nicht korrekt ist. Das da jetzt ein Drama daraus gemacht wird. Meine Frage an Fred war nicht ironisch, sondern ernst gemeint. Aber jetzt habe ich mitgeschnitten, dass Fred stillschweigend vorausgesetzt hat, dass die Matrix reelle Eigenwerte hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:31 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Was soll das ? Darum gehts doch gar nicht.
> Doch darum geht es.
> > Es gibt nun mal komplexe Matrizen , mit positiven
> Eigenwerten, z.B.:
> Das bezweifle ich nicht.
>
> Dann bin ich jetzt mal ganz pingelig:
> Sei [mm]A=\pmat{i &0\\
0&i}\in\IC[/mm] D=A und T=Einheitsmatrix,
> dann ist doch auch [mm]T^{-1}AT=D[/mm]. Dann kann man die Aufgabe
> nicht so formulieren. Wie sehen jetzt die [mm]\mu_i[/mm] aus?
> Niemand sagt, dass die Eigenwerte reell sind (oder
> äquivalent dazu, dass die Matrix hermitesch ist).
naja, ehrlich gesagt: Wenn man es so betrachtet wie Du es hier tust, dann wäre es für mich dann logisch, Fallunterscheidungen zu machen. In einem "solchen", wie von Dir erwähnten Fall (wenn also nicht alle Eigenwerte rein reell sind) wäre die Antwort dann halt einfach, dass das gar nicht geht... (oder dass die Aufgabe dann nicht wohlgestellt ist). Daher betrachte man nun den Fall, dass alle Eigenwerte rein reell sind...
Allerdings ist doch genau das der Sinn dieser Formulierung: Man will in einem dem Leser der Aufgabe mitteilen, dass er nur den Fall, dass alle Eigenwerte rein reell sind, betrachten soll.
Wie gesagt: Derartige Formulierungen werden durchaus des öfteren verwendet. Sie sind als "abkürzende Formulierungen" aufzufassen; ähnlich, wie bei dem, was ich schonmal gesagt habe:
Wenn man $z [mm] \in \IC$ [/mm] hat und plötzlich sagt: "Nun betrachten wir alle $z [mm] \ge 2\,\ldots$", [/mm] dann bedeutet dies eigentlich, dass man sagen will: "Nun betrachten wir alle $z [mm] \in \IC\,,$ [/mm] die rein reell sind, also $z [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllen und zudem auch $z [mm] \ge [/mm] 2$ erfüllen."
Ich behaupte allerdings mal, dass bei manchen Autoren das klar ist (weil es irgendwo zumindest mal erwähnt wird, warum das bei ihnen klar ist); und das andere einfach sagen, dass sie diese Sprechweise so vereinbaren. Letzteres ist sicher dann der Fall, wenn jmd. z.B. etwas nur "lückenhaft aufgebaut" oder "stichwortartig erwähnt" - ersteres ist sicher dann der Fall, wenn jemand z.B. wirklich alles "passend aufzieht". Wobei man selbst dann, je nachdem, wie man es strukturiert hat, vielleicht trotzdem dies als "Sprechweise" vereinbart.
> Ich habe lediglich (sogar als Mitteilung) angemerkt, dass
> die Aufgabe, in dieser Form, wie sie da steht nicht korrekt
> ist.
Das ist sie doch. Sie wäre nur in dieser Form nicht korrekt oder nicht wohlgestellt, wenn die Interpretation der oben genannten Sprechweise sich nicht aus der Vorlesung/Literatur herleiten ließe und zudem diese Sprechweise nirgends vereinbart worden ist. Man kann aber vielleicht sagen, dass sie für Dich nicht korrekt bzw. wohlgestellt ist. Kannst Du es denn vielleicht akzeptieren, wenn wir einfach sagen:Wir vereinbaren diese Sprechweise so in Zukunft? Oder siehst Du auch da Probleme? (Kann ja auch durchaus sein, dass man sich da doch nochmal ein paar mehr Gedanken zu machen sollte, um niemanden zu verwirren oder so...)
> Das da jetzt ein Drama daraus gemacht wird.
Naja, das stimmt zwar, andererseits ist es in der Mathematik ja wichtig, dass wir alle "die gleiche Sprache" sprechen. Zumindest in dem Sinne, dass da keine Fehlinterpretationen entstehen...
> Meine
> Frage an Fred war nicht ironisch, sondern ernst gemeint.
Ich denke schon, dass das klar war. Oder? Mir jedenfalls.
> Aber jetzt habe ich mitgeschnitten, dass Fred
> stillschweigend vorausgesetzt hat, dass die Matrix reelle
> Eigenwerte hat.
Aus den oben genannten Gründen. In allen anderen Fällen macht die Aufgabenstellung keinen Sinn, wie Du schön demonstriert hast. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > > Wenn [mm]\mu_i \in \IC[/mm], dann hat [mm]\mu_i>0[/mm] keinen Sinn!
> >
> >
> > Aber Hallo, natürlich macht das Sinn ! [mm]\IR[/mm] ist eine
> > Teilmenge von [mm]\IC[/mm]
> >
> > Ist [mm]z=x+i*0[/mm] und x=Re(z), so ist doch z [mm]\in \IC[/mm] und z=x>0
> >
> Da schummelst du aber. Im Endeffekt betrachtest du ja
> wieder nur den Fall [mm]z\in \IR[/mm].
nein und ja: Fred schummelt nicht, sondern es ist einfache Logik:
Es gilt für $z [mm] \in \IC$:
[/mm]
Genau dann gilt $z > [mm] 0\,,$ [/mm] wenn $z [mm] \in \IR$ [/mm] und $z > [mm] 0\,.$
[/mm]
Weil es eben nicht jedem einleuchtend erscheint, bzw. weil man, wenn man dies so formuliert, [mm] $\IR$ [/mm] als in [mm] $\IC$ [/mm] eingebettet betrachtet, gibt es durchaus auch Autoren, die einfach sagen:
Wir definieren :
Für $z [mm] \in \IC$ [/mm] bedeute definitionsgemäß die Schreibweise $z > [mm] 0\,,$ [/mm] dass $z [mm] \in \IR$ [/mm] und $z > [mm] 0\,.$ [/mm] (Analog für [mm] $<\,,$ $\le$ [/mm] und [mm] $\ge$.)
[/mm]
Natürlich ändert es nichts daran, dass [mm] $\IC$ [/mm] kein angeordneter Körper ist. Und es ändert nichts daran, dass $i > [mm] 0\,$ [/mm] etc. nicht geschrieben werden kann; denn offenbar ist ja $i [mm] \in i*\IR \not=\IR\,.$
[/mm]
Denn was man hier eigentlich macht, ist, wie gesagt: Man betrachtet [mm] $\IR$ [/mm] eingebettet in [mm] $\IC$ [/mm] und notiert dann, wenn man halt eine Zahl $x=x+i*0=z [mm] \in \IR \subseteq \IC$ [/mm] auffasst, einfach kurz $z > [mm] 0\,,$ [/mm] um sich zu ersparen, in länglicher Weise zu sagen:
Für die komplexe Zahl [mm] $z\,$ [/mm] gilt $z [mm] \in \IR$ [/mm] (d.h. [mm] $\text{Im}(z)=0$; [/mm] oder anders gesagt [mm] $z=\text{Re}(z)$) [/mm] und [mm] $z(=\text{Re}(z)) [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
In diesem Sinne kann man für jede reelle Zahl $r [mm] \in \IR$ [/mm] auch sowas wie
$$z > r$$
schreiben, auch wenn $z [mm] \in \IC\,.$ [/mm] Allerdings ändert das nichts daran, dass etwas wie
$$z > c$$
für $c [mm] \in \IC \setminus \IR$ [/mm] (erstmal) sinnfrei ist - jedenfalls liefert, egal, wie man [mm] $>\,$ [/mm] dann auf [mm] $\IC$ [/mm] definiert, dass sicher niemals eine Ordnungsrelation auf [mm] $\IC$ [/mm] im Sinne eines angeordneten Körpers, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 4.4.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 13.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Haha, du hast dich verklickt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Haha, du hast dich verklickt!
Hallo Stan,
sind jetzt Deine Hirnventrikel komplett ausgetrocknet ?
Chuck (FRED=
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Sa 15.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hi Dr. Chuck,
Habe gar nicht gewusst, dass du dich nicht nur mit Stetigkeit und Konvergenz sondern auch mit Gehirnen auskennst.
Aber für mehr reichts dann nicht mehr...wie wärs wenn du der Diskussion hier ein Ende setzt und mal entgültig die Frage beantwortest bzw. das oberste rote Kästchen auf Grün setzt? Das muss du doch können. Wir warten alle auf dich.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Sa 15.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi Dr. Chuck,
>
> Habe gar nicht gewusst, dass du dich nicht nur mit
> Stetigkeit und Konvergenz sondern auch mit Gehirnen
> auskennst.
>
> Aber für mehr reichts dann nicht mehr...
Besten Dank für die fast richtige Einschätzung meiner geistigen Fähigkeiten.
Mit Gehirnen kenne ich mich eigentlich nicht gut aus, was Dein Gehirn bertifft, aber schon:
da in Deinem Gehirn nur die Eigenschaft Dummschwätzen verankert ist, und sonst nichts, ist es nicht schwer sich darin auszukennen.
Schönes Wochenende
FRED
> wie wärs wenn du
> der Diskussion hier ein Ende setzt und mal entgültig die
> Frage beantwortest bzw. das oberste rote Kästchen auf
> Grün setzt? Das muss du doch können. Wir warten alle auf
> dich.
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn [mm]\mu_i \in \IC[/mm], dann hat [mm]\mu_i>0[/mm] keinen Sinn! Meinst du
> [mm]|\mu_i|>0[/mm]?
Wenn er das gemeint hätte, so wäre die Antwort einfach: A invertierbar.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 13.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ich weiss nicht wieso die andern zwei hier keine Antwort gegeben haben aber ich meinte eine Antwort zumindest im Reellen zu wissen:
Die Matrix muss positiv Definit sein.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Do 13.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Stimmt. Im Reellen wird keine Anforderung an die Matrix gestellt um Definitheit zu besitzen. Im Komplexen wird jedoch erwartet, dass die zugehörige Sesquilinearform reelle Werte besitzt.
Ich habe es noch nirgends anders gelesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Fr 14.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
War ja nur ein Vorschlag. Bei Sesquilinearform kann ich nicht mehr mitreden.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Fr 14.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
> War ja nur ein Vorschlag. Bei Sesquilinearform kann ich
> nicht mehr mitreden.
Der Vorschlag war ja ok.
>
Also um das noch einmal zusammen zu fassen:
Wenn man jetzt davon ausgeht, dass die Eigenwerte samt reell sind oder die Matrix symmetrisch (im Reellen) oder hermitesch (im Komplexen) ist: So sind alle Eigenwerte positiv [mm] $\gdw$ [/mm] die Matrix ist positiv definit, wie qsxqsx schon schrieb.
Im reellen gibt es jedoch auch Matrizen, die nicht symmetrisch und dennoch Eigenwerte größer Null sind.
[mm] $\pmat{1 &-4 \\0 &5}$ [/mm] hat Eigenwerte 1,5
Eventuell kann man also für positive Definitheit bei den reellen Matrizen auf Symmetrie verzichten. (bitte nicht auch noch darüber diskutieren) . I. A. ist ja die Definitheit (im Reellen) für symmetrische Billinearformen (symmetrischen Matrizen) nur definiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Sa 15.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Denny,
ich glaube nicht, dass sich die Frage in der von Dir gewünschten Allgemeinheit beantworten lässt.
Eine "Teilantwort":
Für $ [mm] A\in\IC^{n\times n} [/mm] $ sei [mm] A^H [/mm] die Matrix, die man aus A erhält, wenn man die Einträge in A komplex konjugiert und die so entstandene Matrix transponiert.
Dann heißt A normal, wenn [mm] A*A^H=A^H*A [/mm] ist.
A heißt hermitesch, wenn [mm] A=A^H [/mm] ist.
A heißt positiv, wenn (Ax|x) [mm] \ge [/mm] 0 ist für alle x [mm] \in \IC^n, [/mm]
dabei sei (*|*) das übliche Skalarprodukt auf [mm] \IC^n
[/mm]
Aus dem Spektralsatz für normale Matrizen folgt nun:
Iat A normal, so gilt:
A ist hermitesch [mm] \gdw [/mm] alle Eigenwerte von A sind reell.
Für normales A hat man dann:
alle Eigenwerte von A sind > 0 [mm] \gdw [/mm] (Ax|x)>0 für alle x [mm] \in \IC^n [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Zunaechst danke ich Euch fuer Eure Antworten.
... Ich bin erstaunt, dass meine Frage eine derartige Diskussionsrunde herbeigefuehrt hat.
Nun (zur Korrektur meiner Frage und) zu einer kurzen Rueckfrage: Selbstverstaendlich koennen die Diagonaleintraege [mm] $\mu_i$ ($i=1,\ldots,n$) [/mm] auch komplex sein, d.h. [mm] $\mu_i\in\IC$! [/mm] Meine Frage sollte (sauber formuliert) lauten: Unter welchen zusaetzlichen Bedingungen laesst sich [mm] $\mathrm{Re}(\mu_i)>0 [/mm] $ fuer alle $ [mm] i=1\ldots,n [/mm] $ schliessen?
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P.S.: Diese etwas unschoenes (und vorerst sinnlose) Notation $z>0$ fuer [mm] $z\in\IC$ [/mm] wird auf der Wolframseite abkuerzend fuer [mm] $\mathrm{Re}(z)>0$ [/mm] verwendet. Tatsaechlich gibt es fuer die komplexen Zahlen eigentlich keine Ordnungrelation. Da jedoch eine solche Ordnungsrelation auf der Teilmenge [mm] $\IR\subset\IC$ [/mm] existiert, wird unter $z>0$ auch haeufig $z=x+iy$ [mm] ($x,y\in\IR$) [/mm] mit $x>0$ verstanden. Also zwei voellig unterschiedliche Dinge... Wie dem Auch sei: Bei mir habe ich [mm] $\mathrm{Re}(\mu_i)>0$ [/mm] gemeint. Ich bitte Euch fuer diesen Ausrutscher vielmals um Verzeihung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zunaechst danke ich Euch fuer Eure Antworten.
>
> ... Ich bin erstaunt, dass meine Frage eine derartige
> Diskussionsrunde herbeigefuehrt hat.
>
> Nun (zur Korrektur meiner Frage und) zu einer kurzen
> Rueckfrage: Selbstverstaendlich koennen die
> Diagonaleintraege [mm]\mu_i[/mm] ([mm]i=1,\ldots,n[/mm]) auch komplex sein,
> d.h. [mm]\mu_i\in\IC[/mm]! Meine Frage sollte (sauber formuliert)
> lauten: Unter welchen zusaetzlichen Bedingungen laesst sich
> [mm]\mathrm{Re}(\mu_i)>0[/mm] fuer alle [mm]i=1\ldots,n[/mm] schliessen?
Mann, Mann, warum sagst Du das nicht gleich ???
>
> ---------------------------------------------------------
>
> P.S.: Diese etwas unschoenes (und vorerst sinnlose)
> Notation [mm]z>0[/mm] fuer [mm]z\in\IC[/mm]
Diese Notation ist nicht sinnlos und schon gar nicht vorerst sinnlos !
> wird auf der Wolframseite
> abkuerzend fuer [mm]\mathrm{Re}(z)>0[/mm] verwendet.
> Das ist doch totaler Quatsch. Dann wäre ja 1+i>0 ?????
> Tatsaechlich
> gibt es fuer die komplexen Zahlen eigentlich keine
> Ordnungrelation. Da jedoch eine solche Ordnungsrelation auf
> der Teilmenge [mm]\IR\subset\IC[/mm] existiert, wird unter [mm]z>0[/mm] auch
> haeufig [mm]z=x+iy[/mm] ([mm]x,y\in\IR[/mm]) mit [mm]x>0[/mm] verstanden.
Wie gesagt, das ist Blödsinn
FRED
> Also zwei
> voellig unterschiedliche Dinge... Wie dem Auch sei: Bei mir
> habe ich [mm]\mathrm{Re}(\mu_i)>0[/mm] gemeint. Ich bitte Euch fuer
> diesen Ausrutscher vielmals um Verzeihung.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:38 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Lieber Fred,
Bloedsinn hin oder her. Fakt ist, dass die Ordnungsrelation in manchen Faellen so verwendet wird. Wie dem auch sei. Es sollten jetzt zumindest alle wissen, was bei mir gemeint ist und nun beenden wir am Besten die Notationsdiskussion, da diese rein gar nichts mit meiner Frage zu tun hat.
Da Du lediglich eine Mitteilung (oder Kommentar) zu meiner Notationserklaerung abgegeben hast und leider nicht weiter auf die Antwort meiner eigentlichen Frage eingegangen bist, diese aber als beantwortet markiert hast, oeffne ich hiermit einen Diskussionszweig (in Bezug auf meine vorherige Frage).
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Du suchst also nach einem Kriterium einer Matrix anzusehen, ob die Realteile der Eigenwerte positiv sind.
Da bleibt ja nur noch der Fall zu betrachten: [mm]A\in \IC[/mm] mit komplexen Eigenwerten, wobei A nicht hermitesch ist.
Du kannst noch:
Wenn du die Diagonalmatrix aufteilst in D=R+I (Real und Imaginärteil) splittest, dann gilt ja:
[mm]\mu_i>0 \gdw (A-SIS^{-1})[/mm] positiv definit ist, da
[mm]A=SDS^{-1}=S(R+I)S^{-1}=SRS^{-1}+SIS^{-1}[/mm] suchst du nur noch ein Kriterium, damit [mm]SRS^{-1}[/mm] positiv definit ist.[mm](A-SIS^{-1})\approx SRS^{-1}[/mm] (Ähnlich.-rel.)
Aber das ist auch nur wieder ein theoretsicher Aspekt, da du wieder eine Basis brauchst, die aus Eigenvektoren besteht, die du wiederum meistens aus Eigenwerten berechnest. Da dreht man sich also wieder im Kreis. So wirklich erhält man keine Aussage.
Das Problem ist, dass hier viele "schöne" Eigenschaften ausgeschlossen werden.
PS: War das eine Aufgabe oder eine Überlegung von dir das Leben einfacher zu machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank schon einmal fuer die Antwort.
> PS: War das eine Aufgabe oder eine Überlegung von dir das
> Leben einfacher zu machen?
Eine Uebungsaufgabe war dies nicht. Ich benoetige lediglich irgendwelche (moeglichst schwache) Voraussetzungen an meine Matrix $A$, so dass diese Aussage erfuellt ist um in meinem Beweis fortfahren zu koennen. Es war also lediglich eine Ueberlegung von mir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht nützt Dir das etwas:
Es gilt: ist $||exp(tA)|| [mm] \le [/mm] 1$ für jedes reelle t mit t [mm] \le [/mm] 0, so gilt für jeden Eigenwert [mm] \mu [/mm] von A: [mm] Re(\mu) \ge [/mm] 0.
Siehe:
Lumer, Günter and Phillips, R. S. (1961). "Dissipative operators in a Banach space". Pacific J. Math. 11: 679–698.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Di 18.01.2011 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Fred,
leider benoetige ich "strikte Positivitaet" und ein Eigenwert mit nicht vorhandenem Realteil wuerde mir ein Strich durch die Rechnung machen (ohne genauer auf den exakten Zusammenhang zwischen meiner Fragestellung und meinem eigentlichen Problem eingehen zu wollen).
Aber trotzdem Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 20.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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