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Hallo Leute,
zuerst wünsche ich euch mal ein schönes Wochenende. Dennoch hoffe ich dass mir jemand bei meinem Problem helfen kann.
Ich habe in der Litaratur den Begriff "Begleitmatrix" entdeckt, weiß von euch jemand was damit gemeint ist? Ich hab mal in den anderen Artikeln geschmökert und vermute, dass damit die Matrix gemeint ist, die zu der Funktion f(x) gehört, also die die Abbildung beschreibende Matrix.
MfG
Martin
PS: Danke für euere Antwort
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Hallo Professor,
Ich kenne Begleitmatrix leider nicht als ein Synonym für darstellende Matrix, sondern in einem anderen Zusammenhang:
Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms $p(t) = [mm] a_0 [/mm] + a_1t + ... + [mm] a_{n - 1}t^{n - 1} [/mm] + [mm] t^n$
[/mm]
ist die nxn-Matrix definiert als
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\
-a_0 & -a_1 & -a_2 & \ldots & -a_{n-1}}.
[/mm]
Vielleicht wird der Begriff aber auch noch in einem anderen Zusammenhang benutzt.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 10.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Professor!
Die Begleitmatrix kenne ich so ähnlich wie sie Irrlicht angegeben hat (nur transponiert und mit anderen Vorzeichen), und ich will dir jetzt mal den Zusammenhang zu der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung verdeutlichen.
Du weißt ja, dass Endomorphismen über dem Körper [mm] $\IC$ [/mm] eine Jordansche Normalform zulassen. Das muss bei Endomophismen über beliebigen Körpern nicht notwendigerweise der Fall sein (es gibt dort "zu viele irreduzible Polynome"). In diesem Fall gibt es allerdings einen "Ersatz" für die Jordansche Normalform, die sogenannte rationale kanonische Form. In ihr tauchen die Begleitmatrizen gerade auf.
Genauer gilt Folgendes:
Es sei $f$ ein Endomorphismus des $n$-dimensionalen Vektorraumes über dem (beliebigen) Grundkörper [mm] $\IK$.
[/mm]
Dann gibt es Zahlen
[mm] $r,\, n_1, \ldots, n_r$
[/mm]
mit
[mm] $n_{i} \ge [/mm] 1$
und
[mm] $n_{1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] n_{r} [/mm] = n$
für alle [mm] $i=1,\ldots,r$ [/mm] sowie eine Basis
[mm] $v_{1,0},\ldots, v_{1,n_{1}-1}, \ldots, v_{r,0}, \ldots [/mm] , [mm] v_{r,n_{r}-1}$
[/mm]
von $V$, so dass
[mm] $f(v_{i,j}) [/mm] = [mm] v_{i,j+1}$ [/mm] für [mm] $1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] r$, $0 [mm] \le [/mm] j < [mm] n_i-1$,
[/mm]
[mm] $f(v_{i,n_i-1}) [/mm] = [mm] a_{i,0}v_{i,0} [/mm] + [mm] a_{i,1}v_{i,1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_{i,n_i-1}v_{i,n_i-1}$
[/mm]
mit Koeffizienten [mm] $a_{i,j} \in \IK$.
[/mm]
Relativ zu der Basis [mm] $\{v_{i,j}\, : \, 1 \le i \le r,\, 0 \le j \le m_i\}$ [/mm] wird der Endomorphismus $f$ beschrieben durch eine Kästchenmatrix
[mm] $\begin{pmatrix} B_1 & & & \\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_r \end{pmatrix}$
[/mm]
mit den Begleitmatrizen
[mm] $B_i [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & a_{i,0} \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & a_{i,1} \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & a_{i,1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & a_{i,n_i-1} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Ist [mm] $V_i$ [/mm] der von [mm] $v_{i,0},\ldots v_{i,n_i-1}$ [/mm] aufgespannte Teilraum,
[mm] $f_i\, :\, V_i \to V_i$
[/mm]
der induzierte Endomoprphismus und
[mm] $\mbox{\bf MP}_i(x):= [/mm] - [mm] a_{i0} [/mm] - [mm] a_{i1}x [/mm] - [mm] \ldots [/mm] - [mm] a_{i,n_i-1}x^{n_i-1} [/mm] + [mm] x^{n_i}$,
[/mm]
so gilt:
[mm] $\mbox{\bf MP}_i(x)$ [/mm] ist das Minimalpolynom von [mm] $f_i$, [/mm] und das charakteristische Polynom von [mm] $f_i$ [/mm] ist durch
[mm] $\mbox{\bf CP}_i(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n_i} \cdot \mbox{\bf MP}_i(x)$
[/mm]
gegeben.
Liebe Grüße
Stefan
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