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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Di 24.04.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Aufgabe 9.
Es sei B = [mm] B_{g} \in M_{n}(\IK) [/mm] die Begleitmatrix eines normierten Polynoms g(X) = [mm] X^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}X^{n-1} [/mm] + · · · + [mm] a_{1}X [/mm] + [mm] a_{0} \in \IK[X]. [/mm] Bekanntlich gilt dann g(X) = [mm] \chi [/mm] (X). Zeigen Sie, dass g(X) = µB(X) gilt, d.h. g(X) ist auch das Minimalpolynom von B. |
Huhu!
Also hier kann ich ja schon davon ausgehen, daß g(x) das charakteristische Polynom von B ist.
Wie komme ich jetzt am besten zum Minimalpolynom? Ich hatte bis jetzt über Induktion nachgedacht, was mir nicht wirklich weitergeholfen hat. Außerdem hatte ich überlegt, ob man irgendwie zeigen kann, daß das charakteristische Polynom genau n Nullstellen hat, aber das funktioniert doch nur in [mm] \IC, [/mm] oder?
Gruß
Iris
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> Aufgabe 9.
> Es sei B = [mm]B_{g} \in M_{n}(\IK)[/mm] die Begleitmatrix eines
> normierten Polynoms g(X) = [mm]X^{n}[/mm] + [mm]a_{n-1}X^{n-1}[/mm] + · · · +
> [mm]a_{1}X[/mm] + [mm]a_{0} \in \IK[X].[/mm] Bekanntlich gilt dann g(X) =
> [mm]\chi[/mm] (X). Zeigen Sie, dass g(X) = µB(X) gilt, d.h. g(X) ist
> auch das Minimalpolynom von B.
> Huhu!
>
> Also hier kann ich ja schon davon ausgehen, daß g(x) das
> charakteristische Polynom von B ist.
> Wie komme ich jetzt am besten zum Minimalpolynom? Ich
> hatte bis jetzt über Induktion nachgedacht, was mir nicht
> wirklich weitergeholfen hat. Außerdem hatte ich überlegt,
> ob man irgendwie zeigen kann, daß das charakteristische
> Polynom genau n Nullstellen hat, aber das funktioniert doch
> nur in [mm]\IC,[/mm] oder?
Hallo,
meine - nicht selbst durchgeführte - Idee hierzu:
Das Minimalpolynom m von B ist ja das normierte Polynom kleinsten Grades mit m(B)=0 (Nullmatrix).
Du könntest nun [mm] E=B^0, [/mm] B, [mm] B^2, B^3 [/mm] ... berechnen und gucken, ob es möglich ist, daß Du eine nichttriviale Linearkombination mit
[mm] B^k+a_{k-1}B^{k-1}+a_{k-2}B^{k-2}+...+a_1B+a_0E [/mm]
findest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 24.04.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
> Das Minimalpolynom m von B ist ja das normierte Polynom
> kleinsten Grades mit m(B)=0 (Nullmatrix).
>
> Du könntest nun [mm]E=B^0,[/mm] B, [mm]B^2, B^3[/mm] ... berechnen >und
Was meinst Du damit?
Vielen Dank und Gruß
Iris
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> > Das Minimalpolynom m von B ist ja das normierte Polynom
> > kleinsten Grades mit m(B)=0 (Nullmatrix).
> >
> > Du könntest nun [mm]E=B^0,[/mm] B, [mm]B^2, B^3[/mm] ... berechnen >und
>
> Was meinst Du damit?
Hallo,
die Potenzen der Dir vorliegenden Begleitmatrix B von g.
Das ist doch die Matrix, um die es geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 24.04.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
> die Potenzen der Dir vorliegenden Begleitmatrix B von g.
>
> Das ist doch die Matrix, um die es geht.
>
Richtig. Aber ist nicht nur [mm] B^{0}=E?
[/mm]
Schon [mm] B^{1} [/mm] kann doch gar nicht mehr E werden, da in der ersten Spalte der ersten Zeile eine 0 steht.
Sorry, aber das hat mich jetzt noch mehr verwirrt. ;)
Gruß
Iris
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Hallo,
ich meine:
ich würde die Potenzen [mm] B^2, B^3,... [/mm] der Matrix B berechnen.
(Für [mm] B^1=B [/mm] braucht man nichts zu rechnen, und für [mm] B^0=E [/mm] auch nicht.)
Dann nachschauen, wann E, B, [mm] B^2,..., B^k [/mm] erstmalig linear abhängig sind.
Die entsprechende Linearkombination liefert Dir das Minimalpolynom.
Das Ziel wäre, daß Du zeigst, daß für k<n die [mm] B^i [/mm] nicht linear abhängig sind.
Ob Du auf diesem Weg halbwegs bequem zum Ziel kommst, weiß ich nicht.
Gruß v. Angela
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