Begrenztes Wachstum < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Di 17.03.2009 | | Autor: | Database |
| Aufgabe | In einem Behälter befindet sich eine Flüssigkeit, von der immer mehr verdunstet.
Für begrenztes Wachstum gilt: Bneu = Balt + k (G-Balt)
Balt= 100000 , B1 = 93000 , k=0,1 , G=3000.
Nach welcher Zeit t sind noch 80000 Liter im Behälter? |
Wie kann ich das rechnen?
80000 = [mm] [100000^t [/mm] + 0,1 * [mm] (30000-100000^t)]
[/mm]
geht so nicht; habe ich schon probiert.
Bitte um eure Hilfe 
DANKE!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Database,
> In einem Behälter befindet sich eine Flüssigkeit, von der
> immer mehr verdunstet.
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> Für begrenztes Wachstum gilt: Bneu = Balt + k (G-Balt)
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> Balt= 100000 , B1 = 93000 , k=0,1 , G=3000.
>
> Nach welcher Zeit t sind noch 80000 Liter im Behälter?
> Wie kann ich das rechnen?
>
> 80000 = [mm][100000^t[/mm] + 0,1 * [mm](30000-100000^t)][/mm]
>
> geht so nicht; habe ich schon probiert.
>
> Bitte um eure Hilfe
Nun, wir haben die Formel:
[mm]B_{neu}=B_{alt}+k*\left(G-B_{alt}\right)[/mm]
Löse diese nach [mm]B_{alt}[/mm] auf:
[mm]B_{alt}=\bruch{1}{1-k}*\left(B_{neu}-k*G\right)[/mm]
Da sich jedes Folgenglied so ergibt, können wir auch schreiben:
[mm]B_{n-1}=\bruch{1}{1-k}*\left(B_{n}-k*G\right)[/mm]
Um jetzt auf eine Formel zu kommen, setzen wir in diese Formel
[mm]B_{n-2}=\bruch{1}{1-k}*\left(B_{n-1}-k*G\right)[/mm]
das Folgenglied [mm]B_{n-1}[/mm] ein:
[mm]B_{n-2}=\bruch{1}{1-k}*\left(B_{n-1}-k*G\right)[/mm]
[mm]=\bruch{1}{1-k}*\left(\bruch{1}{1-k}*\left(B_{n}-k*G\right)-k*G\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow B_{n-2}=\bruch{1}{\left(1-k\right)^{2}}*B_{n}-\bruch{1}{\left(1-k\right)^{2}}*k*G-\bruch{1}{1-k}*k*G[/mm]
[mm]=\bruch{1}{\left(1-k\right)^{2}}*B_{n}-\left( \ \bruch{1}{\left(1-k\right)^{2}}+\bruch{1}{1-k} \ \right)*k*G[/mm]
Das machst Du jetzt solange, bist Du eine Gesetzmäßigkeit erkennst.
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> DANKE!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Di 17.03.2009 | | Autor: | Database |
Das Ganze ist sehr viel Rechenarbeit.
Gibt es da keine "Universalformel" ?
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Hallo Database,
> Das Ganze ist sehr viel Rechenarbeit.
> Gibt es da keine "Universalformel" ?
Meines Wissens nicht.
Diese "Universalformel" kannst Du Dir anhand der gegebenen Formel
für begrenztes Wachstum selbst herleiten.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 17.03.2009 | | Autor: | Database |
Das ist schon sehr viel Rechenarbeit.
Ich löse es dann mit dem Taschenrechner.
Dann kommt für t auch kein Kommastellenwert heraus sondern eine gerade Zahl. Dann kann man es näherungsweise angeben.
Ich danke dir für deine Hilfe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 17.03.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Database,
> Das ist schon sehr viel Rechenarbeit.
> Ich löse es dann mit dem Taschenrechner.
> Dann kommt für t auch kein Kommastellenwert heraus sondern
> eine gerade Zahl. Dann kann man es näherungsweise angeben.
Nun, die Formel, die sich nach der vielen Rechenarbeit ergibt, ist folgende:
[mm]B\left(t+n\right)=\left(1-k\right)^{n}*\left(B\left(t\right)-G\right)+ G[/mm],
wobei
[mm]B\left(t+n\right)[/mm] der Ergebniswert zum Zeitpunkt t+n,
[mm]B\left(t\right)[/mm] der Ergebniswert zum Zeitpunkt t
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> Ich danke dir für deine Hilfe!!!
>
Gruß
MathePower
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