Begriff des Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, ich habe mich gefragt, warum man beim Konvergenzradius gerade immer von einem Radius spricht. Das heißt: Sei [mm] P(x):=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0}) [/mm] eine Potenzreihe. Der Konvergenzradius von P ist das größte r, so dass P(x) für alle x mit [mm] |x-x_{0}|
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe mich gefragt, warum man beim
> Konvergenzradius gerade immer von einem Radius spricht. Das
> heißt: Sei [mm]P(x):=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})[/mm] eine
> Potenzreihe. Der Konvergenzradius von P ist das größte r,
> so dass P(x) für alle x mit [mm]|x-x_{0}|
So ist es.
> Sagen
> wir mal [mm]x_{1} \in \IC.[/mm] Folgt denn aus [mm]P(x_{1})[/mm] konvergent
> auch [mm]P(-x_{1})[/mm] konverget
Nein. Beispiel: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n*x^n}{n}
[/mm]
Diese Potenzreihe konvergiert in [mm] x_1=1, [/mm] aber sie divergiert in [mm] -x_1=-1.
[/mm]
Zunächst ist es so: ist r der Konvergenzradius, wir können r< [mm] \infty [/mm] annehmen,
so konvergiert die Potenzreihe in der Kreisscheibe
[mm] \{x \in \IC: |x-x_0|
sie divergiert für [mm] |x-x_0|>r.
[/mm]
Für Punkte x mit [mm] |x-x_0|=r [/mm] kann Konvergenz vorliegen, muß aber nicht.
FRED
> bzw. ist die Menge der x für die
> P konvergiert immer eine Kreisscheibe oder gibt es auch x
> die nicht in der Kreisscheibe des Konvergenzradius liegen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Sin777 |
Ich merke gerade, dass mein Beispiel falsch formuliert war bzw. sich nur auf den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] bezieht. Ich meinte mit [mm] -x_{1} [/mm] diejenige Zahl, die symmetrisch zu [mm] x_{1} [/mm] bzgl. des Kreismittelpunkts [mm] x_{0} [/mm] ist.
Also nochmal kurz zusammengefasst: Es kann noch Punkte auf der Kreislinie geben, für die P auch konvergiert. Aber das sind die einzigen Punkte für die es kein symmetrisches Pendant geben muss, oder? für alle x mit [mm] |x-x_{0}|>r [/mm] divergiert P immer. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich merke gerade, dass mein Beispiel falsch formuliert war
> bzw. sich nur auf den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] bezieht.
> Ich meinte mit [mm]-x_{1}[/mm] diejenige Zahl, die symmetrisch zu
> [mm]x_{1}[/mm] bzgl. des Kreismittelpunkts [mm]x_{0}[/mm] ist.
das ist doch vollkommen wurscht: Transformiere einfach die Potenzreihe!
Dann kannst Du i.W. jede Potenzreihe mit einer in Verbindung setzen,
deren Entwicklungspunkt [mm] $0\,$ [/mm] ist!
> Also nochmal kurz zusammengefasst: Es kann noch Punkte auf
> der Kreislinie geben, für die P auch konvergiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau: Es kann solche geben, es muss sie aber nicht geben. Das
zuerst Gesagte hat Fred schon erklärt, das einfachste Beispiel für das
zuletzt Gesagte:
[mm] $f(z)=\sum_{k=0}^\infty z^k$
[/mm]
konvergiert genau für alle [mm] $z\,$ [/mm] mit $|z| < [mm] 1\,$!
[/mm]
Und hätte ich nun
[mm] $g(z)=\sum_{k=0}^\infty (z-z_0)^k$
[/mm]
hingeschrieben, so könnte man sagen, dass diese (formale) Potenzreihe [mm] $g(z)\,$ [/mm]
genau für alle [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0| [/mm] < [mm] 1\,$ [/mm] konvergiert.
Was hat [mm] $g\,$ [/mm] eigentlich mit [mm] $f\,$ [/mm] zu tun? Genau: [mm] $f(z)=g(z+z_0)$ [/mm] bzw. [mm] $g(z)=f(z-z_0)\,$ [/mm]
für alle (relevanten) $z [mm] \in \IC$ [/mm] - siehst Du nun, was ich mit "Transformation" meinte?
(Ich kann eigentlich [mm] $g(z)=f(z-z_0)$ [/mm] bzw. [mm] $g(z+z_0)=f(z)$ [/mm] ja so nur hinschreiben, wenn
"die (formalen) Potenzreihen an der entsprechenden Stelle konvergieren" -
aber $g(z)$ divergiert auch genau für alle [mm] $z\,,$ [/mm] für die [mm] $f(z-z_0)$ [/mm] divergiert;
das meine ich mit der Gleichheit, wenn ich sie "für alle $z [mm] \in \IC$" [/mm] formuliere!)
Anders gesagt (das kannst Du Dir auch schnell herleiten):
Die (offene) Konvergenzkreisscheibe von
[mm] $g(z)=\sum_{k=\red{0}}^\infty a_k (z-z_0)^k$
[/mm]
ist einfach die (offene) Konvergenzkreisscheibe von
[mm] $f(z)=\sum_{k=\red{0}}^\infty a_k z^k\,,$
[/mm]
wenn man bei der letzten den Mittelpunkt von [mm] $0\,$ [/mm] zu [mm] $z_0$ [/mm] verschiebt!
(Anstatt der [mm] $\red{0}$ [/mm] könnte man da jeweils auch eine andere Zahl aus [mm] $\IN_0$ [/mm] bei
der unteren Grenze des Summe hinschreiben!)
> Aber das
> sind die einzigen Punkte für die es kein symmetrisches
> Pendant geben muss, oder? für alle x mit [mm]|x-x_{0}|>r[/mm]
> divergiert P immer. Stimmt das?
Ja klar:
Wenn [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < r$ konvergiert,
so ist, wenn $y$ ein Punkt mit [mm] $|y-x_0| [/mm] < r$ ist, ja der zugehörige "symmetrische
Punkt" doch einfach [mm] $\tilde{y}=x_0-(y-x_0)=2x_0-y\,.$
[/mm]
Berechne mal [mm] $\tilde{y}-x_0$ [/mm] und denke nach, warum dann auch [mm] $|\tilde{y}-x_0| [/mm] < r$ gilt.
Analoges gilt, wenn Du [mm] $\red{<} [/mm] r$ durch [mm] $\red{>} [/mm] r$ ersetzt!
Gruß,
Marcel
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