Begründe Differenzierbarkeit o < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Frage: Wo ist die folgende Funktion diferenzierbar oder nicht?
g(x):= {0 für x<0 ; x² für x>0 ; x² für x=0 } |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also bei dieser zusammengesetzten Funktion muss ich die drei obengenannten Fälle betrachten. Für Fall 2 x>0; f(x)=x²
habe ich die h-methode benutzt:
f'(x)= lim h--> 0 f(x+h)-f(x) / h = (x+h)²-(x)²/h =2x+h= 2x
ich denke das Ergebnis stimmt weil x² abgeleitet 2x ergibt aber wie sieht es mit dem 1 und 3 fall aus?Ich weiß nämlich nicht wirklich welche Informationen ich in die h-Formel einsetzen soll??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Mo 02.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
die vorliegende Funktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion. Sie ist [mm] x^2 [/mm] für alle [mm] x\ge [/mm] 0 und 0 für alle x<0. Die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist streng monoton wachsend und auch für alle [mm] x\ge [/mm] 0 definiert. Deshalb ist der linksseitige Grenzwert und auch der rechtsseitige Grenzwert an jedem [mm] x\ge [/mm] 0 immer gleich und die Funktion somit differenzierbar für alle [mm] x\ge [/mm] 0. Genauso geht es auf der anderen Seite. f(x)=0 für alle x<0. Das bedeutet, die Ableitung der Funktion ist hier stets 0. Die Funktion ist eine konstante Funktion da für alle x<0 die Funktionswerte stets 0 sind. Der Graph liegt also auf der x-Achse. Wenn du nun die Definition für die Ableitung hernimmst und die Funktion f(x)=0 dann sieht man was herauskommen muss.
[mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{0-0}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{h}=0
[/mm]
Die Ableitung ist also stets 0. Das muss bei einer konstanten Funktion auch so sein, denn sie hat ja keine Steigung.
Somit ist die Ableitung auch hier für alle x<0 definiert und die Funktion ist auch hier überall differenzierbar.
Allgemein gilt: Eine Funktion ohne Sprungstellen und Definitionslücken ist differenzierbar. Und genau so etwas liegt hier auch vor. Die Funktion ist für alle [mm] x\in \IR [/mm] definiert.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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