Behälter Zulauf < SchulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Behälter von D = 3 m Durchmesser und H = 10 m Höhe hat am Behälterboden
ein Auslassventil mit einem Durchmesser von Da = 0,050 m. Aus diesem Ventil fließt
Flüssigkeit aus dem Behälter aus. Es gilt [mm] v=\wurzel{2gh} [/mm] . Dem Behälter fließt gleichzeitig
55 m³/h eine Flüssigkeit zu. Zur Zeit t = 0 ist der Behälter zu 100% gefüllt. Stellen Sie
die Füllhöhe als Funktion der Zeit dar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Komme hier irgendwie nicht weiter finde auch keinen Ansatz, ichmeine mich zu erinnern sowas in der Oberstufe mal über ein Integral berechnet zu haben stimmt das ? Oder wie muss man sonst vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Di 26.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Behälter von D = 3 m Durchmesser und H = 10 m Höhe hat
> am Behälterboden
> ein Auslassventil mit einem Durchmesser von Da = 0,050 m.
> Aus diesem Ventil fließt
> Flüssigkeit aus dem Behälter aus. Es gilt [mm]v=\wurzel{2gh}[/mm]
> . Dem Behälter fließt gleichzeitig
> 55 m³/h eine Flüssigkeit zu. Zur Zeit t = 0 ist der
> Behälter zu 100% gefüllt. Stellen Sie
> die Füllhöhe als Funktion der Zeit dar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
das riecht nach einer Differenzialgleichung.
Für die Volumenänderung gilt
[mm] \Delta V=\Delta V_{zu}-\Delta V_{ab}
[/mm]
Das zufließende Volumen lässt sich als 55 m³/h [mm] *\Delta [/mm] t ausdrücken,
das abfließende Volumen aus (Querschnittsfläche des [mm] Auslassventils)*Ausflussgeschwindigkeit*\Delta [/mm] t .
Gruß Abakus
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> Komme hier irgendwie nicht weiter finde auch keinen Ansatz,
> ichmeine mich zu erinnern sowas in der Oberstufe mal über
> ein Integral berechnet zu haben stimmt das ? Oder wie muss
> man sonst vorgehen?
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Wenn ich diesen uralten Thread nochmal ausgraben darf; ich hatte mir diese Frage auch mal gestellt, weil ich ein leicht verstopftes Waschbecken habe und mal berechnen wollte, wie sich der Pegel so verhält ;) Sei dazu:
[mm] Q_B [/mm] := Querschnittsfläche des Behälters
[mm] Q_A [/mm] := Querschnittsfläche des Abflusses (bzw was noch frei ist ;) )
h := Pegelhöhe
[mm] V_0 [/mm] := konstanter Wasserzulauf (Vol/zeit)
V := Volumen
Und alles mit passenden Einheiten...
wenn ich mich nicht irre, müsste die DGL dazu dann lauten
[mm] Q_B*dh=dV=V_0dt-Q_A*v*dt=V_0dt-Q_A*\sqrt{2*g*h}*dt
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{dh}{dt}=\underbrace{\frac{V_0}{Q_B}}_{=:\alpha}-\underbrace{\frac{Q_A}{Q_B}*\sqrt{2*g}}_{=:\beta}*\sqrt{h}
[/mm]
Ist also von der Form: [mm] \underbrace{\alpha-\beta*\sqrt{h}+h'}_{F(t,h,h')}=0
[/mm]
Weiß jemand ne Lösung für h (Anfangswert h(0)=0)? Ich habs mit Separation der Veränderlichen versucht, aber da kam ich zu keinen Ergebnis. Ich muss dazu sagen, dass ich noch nicht so fit in DGLs bin... ;)
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Hallo fate-man, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wenn ich diesen uralten Thread nochmal ausgraben darf;
Warum nicht? Es war ja weder ein Deckel drauf, noch hatte jemand einen Grabhügel aus Steinen darauf geschichtet. 
> ich
> hatte mir diese Frage auch mal gestellt, weil ich ein
> leicht verstopftes Waschbecken habe und mal berechnen
> wollte, wie sich der Pegel so verhält ;)
Klar. Wo wäre die Mathematik ohne die schönen Aufgaben des Alltags...
> Sei dazu:
> [mm]Q_B[/mm] := Querschnittsfläche des Behälters
> [mm]Q_A[/mm] := Querschnittsfläche des Abflusses (bzw was noch
> frei ist ;) )
> h := Pegelhöhe
> [mm]V_0[/mm] := konstanter Wasserzulauf (Vol/zeit)
> V := Volumen
> Und alles mit passenden Einheiten...
>
> wenn ich mich nicht irre, müsste die DGL dazu dann lauten
> [mm]Q_B*dh=dV=V_0dt-Q_A*v*dt=V_0dt-Q_A*\sqrt{2*g*h}*dt[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{dh}{dt}=\underbrace{\frac{V_0}{Q_B}}_{=:\alpha}-\underbrace{\frac{Q_A}{Q_B}*\sqrt{2*g}}_{=:\beta}*\sqrt{h}[/mm]
Sieht gut aus.
> Ist also von der Form:
> [mm]\underbrace{\alpha-\beta*\sqrt{h}+h'}_{F(t,h,h')}=0[/mm]
Eher $ -h' $, aber das ändert ja nichts an der Sache.
> Weiß jemand ne Lösung für h (Anfangswert h(0)=0)? Ich
> habs mit Separation der Veränderlichen versucht, aber da
> kam ich zu keinen Ergebnis. Ich muss dazu sagen, dass ich
> noch nicht so fit in DGLs bin... ;)
$ [mm] h(t)=(\gamma t+\delta)^2 [/mm] $ ist bei passenden Parametern eine Lösung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fate-man |
Vielen Dank für die rasche Antwort und die herzliche Begrüßung! :)
Richtig, das sollte -h' und nicht h' in der Gleichung heißen. Aber ich glaube das ändert viel. EIn Polynom dürfte da eigentlich nicht rauskommen, denn (jetzt mal rein anschaulich) die Ausflussgeschwindigkeit wächst ja proportional zur Wurzel der Höhe. Also irgendwann erreicht ja die Ausflussmenge/zeit die Zulaufmenge/zeit. Also muss der Pegel gegen irgendwas konvergieren (das Polynom divergiert aber). Ich hab das mal geplottet mit +h' bzw -h'.
Für +h' wäre ein Polynom zweiten Grades plausibel. Aber für -h' müsste was anderes rauskommen, oder? Ich denke da so in Richtung [mm] \approx [/mm] 1-exp(-t)
Nachtrag:
hier noch die Parameter. DGL2 ist mit nem anderen AW geplottet, weil man sonst nichts sieht.
beta:=(Q,QB)->Q/QB*sqrt(2*9.81);
V0:=90;
Q:=1.7;
[mm] QB:=Pi*4^2;
[/mm]
DGl1:=0=V0/QB-beta(Q,QB)*sqrt(y(x))-diff(y(x),x);
DGl2:=0=V0/QB-beta(Q,QB)*sqrt(y(x))+diff(y(x),x);
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
hm, das ist wohl wahr.
> Richtig, das sollte -h' und nicht h' in der Gleichung
> heißen. Aber ich glaube das ändert viel. EIn Polynom
> dürfte da eigentlich nicht rauskommen, denn (jetzt mal
> rein anschaulich) die Ausflussgeschwindigkeit wächst ja
> proportional zur Wurzel der Höhe. Also irgendwann erreicht
> ja die Ausflussmenge/zeit die Zulaufmenge/zeit. Also muss
> der Pegel gegen irgendwas konvergieren (das Polynom
> divergiert aber).
Nicht unbedingt. Wenn der Zulauf größer ist als der maximale Ausfluss, dann steigt die Füllhöhe (langsamer werdend), und irgendwann läuft der Behälter über.
Wenn der minimale Ausfluss größer ist als der Zulauf, dann ist der Behälter irgendwann leer.
Nur im Bereich dazwischen ergibt sich also der von Dir angegebene Fall, und in der Tat müsste der sich etwa verhalten wie die von Dir angegebene Funktion.
> Ich hab das mal geplottet mit +h' bzw
> -h'.
> Für +h' wäre ein Polynom zweiten Grades plausibel. Aber
> für -h' müsste was anderes rauskommen, oder? Ich denke da
> so in Richtung [mm]\approx[/mm] 1-exp(-t)
Naja. Irgendwie kommt da auch auf keinen grünen Zweig, oder?
Vielleicht hilft ein Potenzreihenansatz?
Oder eine Abwandlung davon als Summe von verschiedenen [mm] e^{-kt} [/mm] ?
> Nachtrag:
> hier noch die Parameter. DGL2 ist mit nem anderen AW
> geplottet, weil man sonst nichts sieht.
> beta:=(Q,QB)->Q/QB*sqrt(2*9.81);
> V0:=90;
> Q:=1.7;
> [mm]QB:=Pi*4^2;[/mm]
> DGl1:=0=V0/QB-beta(Q,QB)*sqrt(y(x))-diff(y(x),x);
> DGl2:=0=V0/QB-beta(Q,QB)*sqrt(y(x))+diff(y(x),x);
Danke für die Plots. Mir hilft das immer, eine Vorstellung zu gewinnen.
Frag doch mal im DGl-Unterforum nach der allgemeinen Form, kann ja mit Verweis auf diese Diskussion sein, damit man weiß, wo die DGl herkommt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Do 19.05.2011 | | Autor: | fate-man |
Ok, ich habe den Behälter als in der Höhe unbeschränkt angenommen. ^^ Jedenfalls hab ich rausgefunden, wie man Maple mit allen Bedingungen befragt. Aber selbst Maple findet keine Lösung. In der Uni hab darüber mal mit Kommilitonen diskutiert. Wir sind zu dem Ergebnis gekommen, dass das sehr hässlich wird. Ich hab mich dann erneut mit Trennung der Veränderlichen dran versucht und (wenn ich nichts falsch gemacht habe) muss nacher ne Umkehrfunktion zu x*exp(x) finden. Also geschlossen kann man das (außer abstrakt mit der W-Funktion) wohl nicht darstellen. :(
Scheinbar muss ich mich mit numerischen Lösungen zufrieden geben.
Ich stelle aber auch gerade fest, dass in der hier gestellten Aufgabe ja gar kein Zulauf eingeplant war (der Titel ist etwas verwirrend). Da das so nach ner Schulaufgabe klang, glaubte ich, dass ja ne leichte Lösung existieren müsste. :) Aber mit dem Zulauf wirds plötzlich hässlich und sehr schwer zu berechnen. Gewissermaßen auch 'ne interessante Erkenntnis... :)
Man könnte höchstens noch ne brutal vereinfachende Annahme treffen, nämlich das die Ausflussgeschw' proportional zu h (statt [mm] \sqrt{h}) [/mm] ist. Dann ist die Lösung plötzlich wieder sehr leicht (mit h(0)=0):
[mm] h(t)=\dfrac{\alpha}{\beta}*(1-exp(-\beta*t))
[/mm]
und da steht in etwas sowas, wie vermutet. naja, was solls; trotzdem vielen Dank! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 16.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 26.05.2009 | | Autor: | Frasier |
Hallo Jenny-Penny,
bist du weitergekommen?
Nach welcher Zeit ist der Behälter halb leer, nach welcher Zeit ganz?
lg
F:
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