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| Aufgabe | In der Vorlesung habe ich behauptet, dass: Falls f V [mm] \to [/mm] W eine
lineare, bijektive Abbildung ist, dann ist auch die inverse Abbildung g = f^-1
: W [mm] \to [/mm] V linear. (Erinnerung g(w) ist das eindeutig bestimmte Element v von V mit
f(v) = w:) Beweisen Sie diese Behauptung indem Sie die De nition von "lineare
Abbildung" nachprufen. |
Ich bin gerade überfragt und bitte um Ansätze wie ich mit diese Aufgabe umgehen muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In der Vorlesung habe ich behauptet, dass: Falls f V [mm]\to[/mm] W
> eine
> lineare, bijektive Abbildung ist, dann ist auch die
> inverse Abbildung g = f^-1
> : W [mm]\to[/mm] V linear. (Erinnerung g(w) ist das eindeutig
> bestimmte Element v von V mit
> f(v) = w:) Beweisen Sie diese Behauptung indem Sie die
> De nition von "lineare
> Abbildung" nachprufen.
> Ich bin gerade überfragt und bitte um Ansätze wie ich
> mit diese Aufgabe umgehen muss.
seien $w, w' [mm] \in [/mm] W$ und $r,s [mm] \in \IK\,.$ ($V\,$ [/mm] und [mm] $W\,$ [/mm] seien also
[mm] $\IK$-Vektorräume.)
[/mm]
Zu zeigen ist: Dann folgt schon
[mm] $$g(r*w+s*w')=r*g(w)+s*g(w')\,.$$
[/mm]
Tipp: Es existieren (eindeutig bestimmte) $v,v' [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)=w\,$ [/mm] und
[mm] $f(v')=w'\,,$ [/mm] und weil [mm] $f\,$ [/mm] linear ist, folgt [mm] $r*f(v)+s*f(v')=f(r*v+s*v')\,.$ [/mm]
Zudem beachte:
Was ist $g [mm] \circ f=f^{-1} \circ [/mm] f: V [mm] \to [/mm] V$ für eine Abbildung?
Weiterer Tipp: Beachte, dass etwa $w=f(v)$ äquivalent ist zu [mm] $v=g(w)\,.$
[/mm]
Die Injektivität geht bei derartigem also ein! Oder nochmal ausführlicher:
Zu jedem $w [mm] \in [/mm] W$ gibt es wegen der Surjektivität also mindestens ein
$v [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)=w\,.$ [/mm] Wegen der Injektivität gibt es damit zu jedem
$w [mm] \in [/mm] W$ höchstens ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)=w\,.$ [/mm] Fazit: Wegen der
Bijektivität gibt es zu jedem $w [mm] \in [/mm] W$ genau ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)=w\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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