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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mi 02.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Moin!
Ich beschäftige mich gerade mit linearen Abbildungen und bin nun auf der Suche nach möglichst einfachen Beispielen...
Soweit ich Mathematik bisher verstanden habe, geht es bei der Lösung von Aufgaben zunächst darum, sich das Problem zu veranschaulichen...
Die Frage ist im folgenden also: wie?
Danke für eure Hilfe!! |
Also... Eine lineare Abbildung ist definiert als
[mm] \varphi [/mm] : V -> W
wobei V und W Vektorräume sind über dem Körper K (d.h. beide im selben Körper?!)
wenn gilt:
[mm] \varphi(v1+v2) [/mm] = [mm] \varphi(v1) [/mm] + [mm] \varphi(v2) [/mm] und [mm] \varphi(cv) [/mm] = [mm] c*\varphi(v)
[/mm]
1.) Kann mir jemand zu einer linearen Abbildung ein möglichst einfaches und anschauliches Beispiel geben?
2.) Beispiele für nichtlineare Abbildungen?
***
Ferner... Einer linearen Abbildung (s.o.) können zwei Unterräume zugeordnet werden:
Kern [mm] \varphi [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | [mm] \varphi(v)=0 [/mm] }
Bild [mm] \varphi [/mm] = {w [mm] \in [/mm] W | w = [mm] \varphi(v) [/mm] für ein v [mm] \in [/mm] V}
Auch hierunter kann ich mir nur schwer etwas vorstellen.
3.) Kann mir jemand zu Kern und Bild einer linearen Abbildung ein möglichst einfaches und anschauliches Beispiel geben?
***
Schliesslich... Eine lineare Abbildung, wobei V endlich erzeugt ist, kann mithilfe der Dimensionsformel eine Dimension zugeordnet werden:
Dim V = Dim (Kern [mm] \varphi) [/mm] + Dim (Bild [mm] \varphi)
[/mm]
4.) Kann mir hierzu jemand ein möglichst einfaches und anschauliches Beispiel geben?
Danke für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mi 02.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Also fangen wir mal an:
1.
Lineare Abbildungen hast du ja schon definiert. Dann mal ein Einfaches Beispiel aus der Schule:
[mm] f:\IR\rightarrow\IR [/mm] mit f(x):=mx
Eine lineare Funktion durch den Nullpunkt
Homogen: [mm] f(\lambda*x)=m*\lambda*x=\lambda*m*x=\lambda*f(x)
[/mm]
und Additiv: f(x+y)=m(x+y)=f(x)+f(y)
Lineare Abbildungen kann man auch mit einer Matrix geschreiben f(x)=Ax
In unserem Beispiel ist [mm] A\in\IR^{1\cross1} [/mm] und A=(m). Und x ein "Vektor" mit einer Komponente.
2. Keine lineare Abbildung ist - wir bleiben im [mm] \IR^1 [/mm] -
[mm] f(x)=x^2 [/mm] auch logisch.
Additiv: [mm] f(x+y)=x^2+2xy+y^2=f(x)+f(y)+2xy. [/mm] Geht also nicht.
Ich hoffe dir reichen diese simplen Beispiele. Im Grunde genommen kann man lineare Abbildungen immer mit einer Matrix beschreiben, sofern diese unabhängig von x ist.
===================
[mm] Kern\phi [/mm] sind eigentlich alle Vektoren, die auf den Nullvektor abbilden, wie es ja auch in der Definition steht, die du mit gepostet hast. Bei linearen Abbildungen bilden diese halt einen Untervektorraum, das heißt wenn x und y aus dem Kern sind, dann ist auch ax+by für beliebiges a und b im Kern. Für das Bild ist das genau ähnlich, das sind alle Vektoren, für die ein Urbildvektor existiert, der mit der Funktion [mm] \phi [/mm] eben darauf abgebildet wird.
3.
Machen wir das Beispiel
[mm] f(\vektor{x \\ y})\rightarrow\vektor{x+y \\ -x+y}
[/mm]
Die Matrix dazu sieht so aus:
[mm] A=\pmat{1 & 1 \\ -1 & 1}
[/mm]
Der Kern sind die Vektoren, für die f(x)=0 gilt, also:
x+y=0
-x+y=0
Man sieht sofort, dass das nur für y=x=0 funktioniert, also ist der UVR Kern f={0} der Nullvektor.
Das Bild ist auch kein Problem mehr.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 02.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Ok,
zum Kern [mm] \varphi(x)
[/mm]
> [mm]Kern \phi[/mm] sind eigentlich alle Vektoren, die auf den
> Nullvektor abbilden, wie es ja auch in der Definition
> steht, die du mit gepostet hast. Bei linearen Abbildungen
> bilden diese halt einen Untervektorraum, das heißt wenn x
> und y aus dem Kern sind, dann ist auch ax+by für beliebiges
> a und b im Kern. Für das Bild ist das genau ähnlich, das
> sind alle Vektoren, für die ein Urbildvektor existiert, der
> mit der Funktion [mm]\phi[/mm] eben darauf abgebildet wird.
>
> 3.
> Machen wir das Beispiel
> [mm]f(\vektor{x \\ y})\rightarrow\vektor{x+y \\ -x+y}[/mm]
>
> Die Matrix dazu sieht so aus:
>
> [mm]A=\pmat{1 & 1 \\ -1 & 1}[/mm]
>
> Der Kern sind die Vektoren, für die f(x)=0 gilt, also:
>
> x+y=0
> -x+y=0
>
> Man sieht sofort, dass das nur für y=x=0 funktioniert, also
> ist der UVR Kern f={0} der Nullvektor.
>
> Das Bild ist auch kein Problem mehr.
>
d.h. bzw. heißt das, dass
a) im Beispiel gleichzeitig x+y=0 und -x+y=0 sein muss, damit das zugehörige (x;y) Teil des Kerns ist?
b) im Beispiel nur [mm] f(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm]
Lösungen des Kerns sind?
c) daraus würde ich folgern, dass alle Paare (x;y) zum Bild gehören, die nicht auf den Nullvektor abgebildet werden?
Jetzt ergibt sich eine weitere Schwierigkeit mit der Dimension.
Wie berechne ich Dim (Kern /varphi) ?
Die Abbildung im Beispiel ist zweidimensional, also [mm] R^2 [/mm] nach [mm] R^2, [/mm] richtig?
Und da das Bild [mm] \varphi [/mm] ebenfalls zweidimensional ist, von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, müsste die Dim (Kern [mm] \varphi) [/mm] =0 sein. Stimmt das? Im Beispiel gibt es nur ein Element (0;0), dass den Kern [mm] \varphi [/mm] ausmacht, richtig?
Aber wie ist das allgemeiner? Wenn ich z.B. den [mm] R^3 [/mm] habe, ist dann der Kern [mm] \varphi [/mm] immernoch nur der Nullvektor (0;0;0)?
Gibt es nicht auch Räume, in denen vielleicht eine Gerade, einen Ebene o.ä. der Kern [mm] \varphi [/mm] ist? Bzw. wenn es mehrere Lösungstupel gibt, die zum Kern gehören, was dann?
Kann es sein, dass ich die Menge der Vektoren betrachten muss, die zum Kern gehören, und dann zu dieser Menge die Anzahl der max. unabhängigen Vektoren bestimmen muss (Basis) und damit dann die Dim?
Dann wäre aber immernoch im Beispiel die Dim(Kern [mm] \varphi) [/mm] =0 und ebenfalls in meinem Beispiel im [mm] R^3 [/mm] wäre Dim(Kern [mm] \varphi) [/mm] = 0, da es ja nur eine Lösung gibt nämlich (0;0;0) ?
Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Do 03.01.2008 | | Autor: | max3000 |
> Ok,
>
> zum Kern [mm]\varphi(x)[/mm]
>
> d.h. bzw. heißt das, dass
>
> a) im Beispiel gleichzeitig x+y=0 und -x+y=0 sein
> muss, damit das zugehörige (x;y) Teil des Kerns ist?
Als Lösung sollte dastehen Kern [mm]\varphi(x)[/mm][mm] =\{0\} [/mm]
der Nullvektor.
>
> b) im Beispiel nur [mm]f(\vektor{x \\ y})[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> Lösungen des Kerns sind?
>
> c) daraus würde ich folgern, dass alle Paare (x;y) zum Bild
> gehören, die nicht auf den Nullvektor abgebildet werden?
Nein. Da hast du was falsch verstanden.
Wir haben eine Abbildung [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y
Die Elemente des Kerns sind die Vektoren [mm] x\in [/mm] X, für die f(x)=0 gilt.
Das bild sind Vektoren [mm] y\in [/mm] Y, für die es ein [mm] x\in [/mm] X gibt, so dass f(x)=y.
In unserem Beispiel:
[mm] f(x,y)=\vektor{x+y \\ -x+y}=\vektor{u \\ v}
[/mm]
mit
u=x+y [mm] \Rightarrow [/mm] y=u-x
v=-x+y [mm] \Rightarrow [/mm] y=v+x
Gleichsetzen: u-x=v+x
u=v+2x
Du siehst für beliebiges v und x bekommst du auch ein Beliebiges u, das heißt Bild[mm]f(x)[/mm][mm] =\IR^2.
[/mm]
> Jetzt ergibt sich eine weitere Schwierigkeit mit der
> Dimension.
>
> Wie berechne ich Dim (Kern /varphi) ?
>
> Die Abbildung im Beispiel ist zweidimensional, also [mm]R^2[/mm]
> nach [mm]R^2,[/mm] richtig?
Richtig.
> Und da das Bild [mm]\varphi[/mm] ebenfalls zweidimensional ist, von
> zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, müsste
> die Dim (Kern [mm]\varphi)[/mm] =0 sein. Stimmt das? Im Beispiel
> gibt es nur ein Element (0;0), dass den Kern [mm]\varphi[/mm]
> ausmacht, richtig?
Richtig. Der Kern hat 0 linear unabhängige Vektoren.
> Aber wie ist das allgemeiner? Wenn ich z.B. den [mm]R^3[/mm] habe,
> ist dann der Kern [mm]\varphi[/mm] immernoch nur der Nullvektor
> (0;0;0)?
Kann alles sein. Nur der Kern muss nicht unbedingt der Nullvektor sein.
Es gibt auch Gegenbeispiele.
Es gilt außerdem:
Rang(A)=dim(Bild(f))+dim(Kern(f))
Der Rang der Matrix ist 2.
Die Dimension vom [mm] Bild=\IR^2 [/mm] ist auch 2.
Die Dimension vom Kern ist 0.
Also klappt das auch.
> Gibt es nicht auch Räume, in denen vielleicht eine Gerade,
> einen Ebene o.ä. der Kern [mm]\varphi[/mm] ist? Bzw. wenn es mehrere
> Lösungstupel gibt, die zum Kern gehören, was dann?
Ja das gibt es. Dann hat der Kern eben eine höhere Dimension. Aber was soll dann sein? Dann ist die Abbildung auf jeden Fall nicht injektiv ^^.
> Kann es sein, dass ich die Menge der Vektoren betrachten
> muss, die zum Kern gehören, und dann zu dieser Menge die
> Anzahl der max. unabhängigen Vektoren bestimmen muss
> (Basis) und damit dann die Dim?
> Dann wäre aber immernoch im Beispiel die Dim(Kern
> [mm]\varphi)[/mm] =0 und ebenfalls in meinem Beispiel im [mm]R^3[/mm] wäre
> Dim(Kern [mm]\varphi)[/mm] = 0, da es ja nur eine Lösung gibt
> nämlich (0;0;0) ?
Das ist auch so.
> Gruß
> Wolfgang
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Do 03.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
> >
> > zum Kern [mm]\varphi(x)[/mm]
> >
> > heißt das, dass
> >
> > a) im Beispiel gleichzeitig x+y=0 und -x+y=0 sein
> > muss, damit das zugehörige (x;y) Teil des Kerns ist?
>
> Als Lösung sollte dastehen Kern [mm]\varphi(x)[/mm][mm] =\{0\}[/mm]
> der Nullvektor.
Ist das nicht dasselbe? Die Frage ist, muss der Kern nicht die abzubildenden Elemente auf den Nullvektor abbilden?
> >
> > b) im Beispiel nur [mm]f(\vektor{x \\ y})[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> > Lösungen des Kerns sind?
> >
> > c) daraus würde ich folgern, dass alle Paare (x;y) zum Bild
> > gehören, die nicht auf den Nullvektor abgebildet werden?
>
> Nein. Da hast du was falsch verstanden.
> Wir haben eine Abbildung [mm]f:X\rightarrow[/mm] Y
> Die Elemente des Kerns sind die Vektoren [mm]x\in[/mm] X, für die
> f(x)=0 gilt.
> Das bild sind Vektoren [mm]y\in[/mm] Y, für die es ein [mm]x\in[/mm] X gibt,
> so dass f(x)=y.
> In unserem Beispiel:
>
> [mm]f(x,y)=\vektor{x+y \\ -x+y}=\vektor{u \\ v}[/mm]
>
> mit
> u=x+y [mm]\Rightarrow[/mm] y=u-x
> v=-x+y [mm]\Rightarrow[/mm] y=v+x
>
> Gleichsetzen: u-x=v+x
> u=v+2x
>
> Du siehst für beliebiges v und x bekommst du auch ein
> Beliebiges u, das heißt Bild[mm]f(x)[/mm][mm] =\IR^2.[/mm]
Äh, würde das heissen, dass auch die Abbildung auf den Kern zum Bild gehört?
D.h. hier wird (x,y) auf [mm] R^2 [/mm] abgebildet, da das Bild von v und x abhängt?
Ich versuche zu verstehen, wie sich Kern und Bild unterscheiden... Im Moment sieht es so aus, als ob sich diese Mengen überschneiden (können)?!
> > Jetzt ergibt sich eine weitere Schwierigkeit mit der
> > Dimension.
> >
> > Wie berechne ich Dim (Kern [mm] \varphi) [/mm] ?
> >
> > Die Abbildung im Beispiel ist zweidimensional, also [mm]R^2[/mm]
> > nach [mm]R^2,[/mm] richtig?
>
> Richtig.
>
> > Und da das Bild [mm]\varphi[/mm] ebenfalls zweidimensional ist, von
> > zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, müsste
> > die Dim (Kern [mm]\varphi)[/mm] =0 sein. Stimmt das? Im Beispiel
> > gibt es nur ein Element (0;0), dass den Kern [mm]\varphi[/mm]
> > ausmacht, richtig?
>
> Richtig. Der Kern hat 0 linear unabhängige Vektoren.
>
> > Aber wie ist das allgemeiner? Wenn ich z.B. den [mm]R^3[/mm] habe,
> > ist dann der Kern [mm]\varphi[/mm] immernoch nur der Nullvektor
> > (0;0;0)?
>
> Kann alles sein. Nur der Kern muss nicht unbedingt der
> Nullvektor sein.
> Es gibt auch Gegenbeispiele.
Wenn der Kern nicht unbedingt der Nullvektor ist, wie sieht so ein Kern dann aus? Muss nicht auf "null" abgebildet werden?
> Rang(A)=dim(Bild(f))+dim(Kern(f))
dim V = dim(Bild(f)) + dim(Kern(f))
Bei Matritzen weiss ich, wie man den Rang bzw. die Dimension bestimmt; ggf. über Det. oder die maximale Anz. der unabhängigen Vektoren. Aber so???
Gruß
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Sa 05.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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