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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Polynome aus [mm] \IQ[X] [/mm] irred. sind.
a) [mm] f(x)= 5X^3 + 63X^2 + 168 [/mm]
b) [mm] f(x)= X^6 + X^3 + 1 [/mm]
c) [mm] f(x)= X^4-3X^3 + 3X^2-X + 1 [/mm]
d) [mm] f(x)=X^4 + 2X^3 + X^2 + 2X + 1[/mm] |
Hallo zusammen,
habe mir folgendes überlegt:
zu a) mit Eisensteinkriterium [mm]p=3[/mm]
b) mit translationskriterium, also:
[mm] f(x+1)=x^6+6x^5+15x^4+21x^3+18x^2+9x+3 [/mm]
und dann mit Eisenstein [mm]p=3[/mm]
c) mit Reduktionskriterium: ich betrachte also [mm]f(x)[/mm] in [mm]\IZ /2 \IZ[/mm]
[mm]\phi (f) = x^4-x^3+x^2-x+1[/mm]
da wir aber mod2 rechnen, ist das das gleiche wie:
[mm]= x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
und das Polynom ist irreduzibel in [mm]\IZ /2 \IZ[/mm] (haben wir schon gezeigt), sd. auch f(x) in [mm] \IQ[X] [/mm] irred. ist.
Eine frage dazu: Wenn ich in c) mein f(x) in [mm]\IZ /3 \IZ[/mm] berechne, bekomme ich ein Polynom das reduzibel ist. Kann ich dann überhaupt irgendeine Aussage über f(x) treffen? zB dass f(x) dann auch reduzibel ist?
d) hier weiß ich nicht weiter. Eisenstein geht offensichtlich nicht. Reduktion mod 2 bekomme ich ein reduzibles Polynom und das Translationskriterium mit f(x+1) oder f(x-1) hilft mir auch nicht weiter. Wäre um jeden Tipp dankbar :)
Viele Grüße,
Michael
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass folgende Polynome aus [mm]\IQ[X][/mm] irred. sind.
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> a) [mm]f(x)= 5X^3 + 63X^2 + 168[/mm]
> b) [mm]f(x)= X^6 + X^3 + 1[/mm]
> c)
> [mm]f(x)= X^4-3X^3 + 3X^2-X + 1[/mm]
> d) [mm]f(x)=X^4 + 2X^3 + X^2 + 2X + 1[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> habe mir folgendes überlegt:
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> zu a) mit Eisensteinkriterium [mm]p=3[/mm]
>
> b) mit translationskriterium, also:
> [mm]f(x+1)=x^6+6x^5+15x^4+21x^3+18x^2+9x+3[/mm]
> und dann mit Eisenstein [mm]p=3[/mm]
>
> c) mit Reduktionskriterium: ich betrachte also [mm]f(x)[/mm] in [mm]\IZ /2 \IZ[/mm]
>
> [mm]\phi (f) = x^4-x^3+x^2-x+1[/mm]
> da wir aber mod2 rechnen, ist
> das das gleiche wie:
> [mm]= x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
>
> und das Polynom ist irreduzibel in [mm]\IZ /2 \IZ[/mm] (haben wir
> schon gezeigt), sd. auch f(x) in [mm]\IQ[X][/mm] irred. ist.
Sieht alles gut aus.
> Eine frage dazu: Wenn ich in c) mein f(x) in [mm]\IZ /3 \IZ[/mm]
> berechne, bekomme ich ein Polynom das reduzibel ist. Kann
> ich dann überhaupt irgendeine Aussage über f(x) treffen?
> zB dass f(x) dann auch reduzibel ist?
Das Reduktionkriterium liefert eine hinreichende Bedingung, keine Äquivalenz. Und ein polynom ist entweder irreduzibel oder nicht, das ist nicht Schrödingers Katze.
> d) hier weiß ich nicht weiter. Eisenstein geht
> offensichtlich nicht. Reduktion mod 2 bekomme ich ein
> reduzibles Polynom und das Translationskriterium mit f(x+1)
> oder f(x-1) hilft mir auch nicht weiter. Wäre um jeden
> Tipp dankbar :)
Reduktion mod 3,5,7...
> Viele Grüße,
> Michael
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