Beispiele angeben < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Niente |
| Aufgabe | Man gebe zu a) und b) je zwei Beispiele von Folgen [mm] (a_{n}) [/mm] positiver Zahlen derart, dass [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] divergiert und die folgenden Reihen konvergieren bzw. divergieren.
(a) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+a_{n}^{2}}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+ na_{n}}
[/mm]
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Ich weiß leider gar nicht. Wie ich die Beispiele finden kann.
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen  .
Vielen Dank schon einmal im Voraus!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mi 14.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Niente
Warum probierst du gar nichts aus? an=n, an=1/n usw
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 15.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Leduart,
danke für deinen Tipp. Ich bin dem gefolgt und habe Folgendes heraus gefunden:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \brucht{a_{n}}{1+a_{n}^{2}}
[/mm]
Zur Divergenz setze [mm] a_{n}= \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Wenn ich alles richtig ausgerechnet habe, kommt raus: [mm] \bruch{n^{2}}{n^{4}+1}
[/mm]
Habe überprüft, ob [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{n^{4}+1}
[/mm]
divergiert, in dem ich Zahlen eingesetzt hab. Würde sagen, dass dem so ist, oder????
Zur Konvergenz habe ich viel ausprobiert, aber ich finde einfache keine Folge, kannst du mir bitte helfen???
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{1+na_{n}}
[/mm]
Zur Divergenz:
Setze [mm] a_{n}=n, [/mm] dann kommt raus: [mm] \bruch{n}{1+n^{3}}
[/mm]
Habe überprüft, ob [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{1+n^{3}} [/mm] gegen unendlich strebt, würde sagen ja, also ist die Reihe divergent, oder??
Zur Konvergenz:
Setze [mm] a_{n}= \bruch{1}{n^{2}} [/mm] und erhalte: [mm] \bruch{1}{n^{2}+n}
[/mm]
Habe überprüft, ob [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+n} [/mm] gegen Null strebt. Ja, also konvergiert die Reihe, oder??
Danke,
Niente
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 15.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \brucht{a_{n}}{1+a_{n}^{2}}[/mm]
>
> Zur Divergenz setze [mm]a_{n}= \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
> Wenn ich alles
> richtig ausgerechnet habe, kommt raus:
> [mm]\bruch{n^{2}}{n^{4}+1}[/mm]
soweit r
> Habe überprüft, ob [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{n^{4}+1}[/mm]
>
> divergiert, in dem ich Zahlen eingesetzt hab. Würde sagen,
> dass dem so ist, oder????
Nein, bis zu welchem n hast du denn Zahlen eingesetzt?
es gilt [mm] doch:\bruch{n^{2}}{n^{4}+1}<\bruch{n^{2}}{n^{4}}
[/mm]
merkst du jetzt was?
> Zur Konvergenz habe ich viel ausprobiert, aber ich finde
> einfache keine Folge, kannst du mir bitte helfen???
siehe oben.
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{1+na_{n}}[/mm]
>
> Zur Divergenz:
> Setze [mm]a_{n}=n,[/mm] dann kommt raus: [mm]\bruch{n}{1+n^{3}}[/mm]
> Habe überprüft, ob [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{1+n^{3}}[/mm]
> gegen unendlich strebt, würde sagen ja, also ist die Reihe
> divergent, oder??
würde sagen ja reicht nicht! Aber es kommt auch [mm] \bruch{n}{1+n^{2}}raus!
[/mm]
Und du musst zeigen ob es divergiert oder konvergiert! am einfachsten mit Minoranten für Divergenz und Majoranten für Konvergenz
> Zur Konvergenz:
> Setze [mm]a_{n}= \bruch{1}{n^{2}}[/mm] und erhalte:
> [mm]\bruch{1}{n^{2}+n}[/mm]
> Habe überprüft, ob [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+n}[/mm]
> gegen Null strebt. Ja, also konvergiert die Reihe, oder??
Die SUMME kann doch gar nicht gegen Null streben, die fängt doch mit 0,5 an
und wird dann immer größer, die Frage ist doch nicht ob sie Null wird, sondern gegen einen festen Wert geht!
Sie konvergiert wirklich, aber das musst du zeigen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 15.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Leduart,
danke für deine Tipps. Du hattest Recht...
Zu a)
Da [mm] \bruch{n^{2}}{n^{4}+1}<\bruch{n^{2}}{n^{4}}[/mm]
[/mm]
ist, und [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch [mm] \bruch{n^{2}}{n^{4}+1}.
[/mm]
Ich habe wieder wie eine wahnsinnige rumprobiert, wie ich viell eine Folge finden kann, so dass ich durch Abschätzung am Ende sagen kann
... [mm] >\bruch{1}{n} [/mm] (konvergiert nicht, also nach Minorantenkriterium (...) auch nicht)... Aber ich komme einfach nicht auf so eine Folge... - kannst du mir vielleicht helfen??
Zu b)
zur Konvergenz:
Setze [mm]a_{n}= \bruch{1}{n^{2}}[/mm] und erhalte:
> > [mm]\bruch{1}{n^{2}+n}[/mm] dies ist < [mm] \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Gleiches Argument wie oben: Konvergiert also, da [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert (Majorantenkriterium).
Auch hier habe ich schon wieder einiges durchprobiert...wie z.B. eine Folge mit [mm] \wurzel{n-1}... [/mm] aber ich erhalte einfach nicht das Gewünschte :-( Ich würde gerne wie oben auch schon eine Abschätzung mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (und Minorantenkriterium) aber ich komme einfach nicht weiter!!
Ich danke schon einmal im Voraus für jegliche Art von Hilfe!!!!
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{1+na_{n}}[/mm]
> >
> > Zur Divergenz:
> > Setze [mm]a_{n}=n,[/mm] dann kommt raus: [mm]\bruch{n}{1+n^{3}}[/mm]
> > Habe überprüft, ob [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{1+n^{3}}[/mm]
> > gegen unendlich strebt, würde sagen ja, also ist die Reihe
> > divergent, oder??
> würde sagen ja reicht nicht! Aber es kommt auch
> [mm]\bruch{n}{1+n^{2}}raus![/mm]
> Und du musst zeigen ob es divergiert oder konvergiert! am
> einfachsten mit Minoranten für Divergenz und Majoranten für
> Konvergenz
> > Zur Konvergenz:
> > Setze [mm]a_{n}= \bruch{1}{n^{2}}[/mm] und erhalte:
> > [mm]\bruch{1}{n^{2}+n}[/mm]
> > Habe überprüft, ob [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+n}[/mm]
> > gegen Null strebt. Ja, also konvergiert die Reihe, oder??
> Die SUMME kann doch gar nicht gegen Null streben, die
> fängt doch mit 0,5 an
> und wird dann immer größer, die Frage ist doch nicht ob sie
> Null wird, sondern gegen einen festen Wert geht!
> Sie konvergiert wirklich, aber das musst du zeigen!
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Do 15.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
an=n
[mm] n/(1+n^{2})
oder an=1/n
(wenns bei [mm] an=1/n^2 [/mm] konvergiert ist doch n öder 1/n naheliegend für diverg.)
Gruss leduart
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