Bekomme es nicht auf die Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 21.10.2009 | | Autor: | hienli |
| Aufgabe | Es sei [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n} [/mm] (1- [mm] 1/i^{2}) [/mm] = [mm] (1-1/4)*(1-1/9)*...*(1-1/n^{2})
[/mm]
Beweise: lim [mm] a_{n} [/mm] = 1/2
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Hallo zusammen,
Wer kann mir das zeigen?!
Grüsse,
Domi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 21.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$(1- [mm] 1/i^{2}) [/mm] = [mm] \bruch{(i-1)(i+1)}{i^2}$
[/mm]
Damit schreib mal das Produkt $ [mm] \produkt_{i=2}^{n} [/mm] $ (1- $ [mm] 1/i^{2}) [/mm] $ geschickt auf, denke an Fakultäten und an Kürzen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 21.10.2009 | | Autor: | hienli |
Hallo Fred,
Ich verstehe nicht ganz wie es weiter gehen soll.
Ein weiterer Tipp deinerseits würde mir die Arbeit wohl erheblich erleichtern. Ich habe es eingangs mit der Exponentialfunktion versucht, hat aber nicht hingehauen. Deine Möglichkeit sieht besser aus, leider weiss ich nicht wie ich fortfahren soll! hmm
Gruss
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Hallo hienli,
du hast doch nun schon [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n}\left(1-\frac{1}{i^{2}}\right) [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n}\left(\frac{(i-1)*(i+1)}{i^{2}}\right)$.
[/mm]
Nun schau dir doch mal an, was passiert, wenn du i = 2, ..., n für die Zähler "einsetzt", also bilde mal das Teleskop-Produkt. Du erhältst:
$(1*3)*(2*4)*(3*5)*(4*6)*(5*7)* ... *((n-1)*(n+1))$
Du weißt, dass der Nenner des Produkts letztendlich [mm] (n!)^{2} [/mm] = n*n*(n-1)*(n-1)*...*1*1 ist. Was kürzt sich alles mit dem Zähler weg?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mi 21.10.2009 | | Autor: | hienli |
Hallo Steppenhahn,
Vielen Dank für deinen Input.
Ich denke ich konnte die einzelnen Faktoren soweit herauskürzen, sodass im Nenner nur noch die "2" stehen blieb!
Liebe Grüsse,
Domi
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Hallo Domi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Ich denke ich konnte die einzelnen Faktoren soweit
> herauskürzen, sodass im Nenner nur noch die "2" stehen blieb!
Nicht ganz. Ganz am Ende bleibt auch noch jeweils ein Term mit $n_$ in Zähler und Nenner stehen.
Ansonsten wäre ja der Wert immer [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] , unabhängig vom $n_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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