www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Beliebte Folgen
Beliebte Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beliebte Folgen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 So 12.12.2004
Autor: Chironimus

Hallo an alle hilfsbereiten Menschen hier.Zuerst mal ein riesen Lob an euch, dass ihr euch soviel Mühe gibt, Probleme zu lösen.

So, auch ich habe ein Problem, und zwar bezieht sich das vorwiegend auf Folgen.

Ich soll folgende Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen und gegebenfalls einen Grenzwert angeben.

a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = 1+2+...+n/n+2 - n/2

So, nun zu meinem Problem.
zu a) Meiner Meinung nach divergiert [mm] \wurzel{n} [/mm] und somit auch
[mm] \wurzel{n+1}, [/mm] wenn ich nun aber mit Hilfe des Taschenrechners ein      paar n berechne, stell ich fest, das die Folge insgesamt konvergiert, und zwar gegen 0. Kann das sein ? Ich hab nur überhaupt keine Ahnung, wie ich das verständlich aufs Papier bringen soll. Ich würde mich freuen, wenn sich mir jemand erbarmen würde.

zu b) Naja, da hört es bei mir schon auf, das ich 1+2+...+n  nicht anders darstellen kann.

Ich habe hier schon ziemlich viel, über Diskussionen gelesen, allerdings nicht verstanden, da immer mit Hilfe von Definitionen erklärt worden ist, mit denen ich auch so meine Probleme habe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beliebte Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 12.12.2004
Autor: Nilez

Hallo Chironimus!

Ad a)
Du hast hier einen unbestimmten Ausdruck stehen, ich meine
so etwas wie " [mm] \infty- \infty"; [/mm]
Also ist es ratsam deine Folge umzuformen:

[mm] (\wurzel{n+1})²- (\wurzel{n})² [/mm] = 1 =

[mm] (\wurzel{n+1}- \wurzel{n})* (\wurzel{n+1}+ \wurzel{n}) [/mm] =

[mm] a_{n}* (\wurzel{n+1}+ \wurzel{n}) [/mm]

Zuletzt hab ich die Identität a²- b² = (a- b)* (a+ b) verwendet, siehst du das?

Naja, daraus folgt:

[mm] a_{n}= \bruch{1}{ \wurzel{n+1}+ \wurzel{n}} [/mm]

Und das hat sichtlich 0 als GW (wie du und dein Taschenrechner schon längst erkannt haben :-) )

Ad b)
[mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] =  [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]

Ich hab dann:

[mm] b_{n}= \bruch{n(n+1)}{2(n+2)}- \bruch{n}{2}= [/mm]

[mm] -\bruch{n}{2(n+2)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2+ 2/n} [/mm]

Das geht offensichtlich gegen  [mm] -\bruch{1}{2}. [/mm]

Hoff bei b) deine Notation richtig interpretiert zu haben!

Liebe Grüße,
Nilez


Bezug
                
Bezug
Beliebte Folgen: Frage bzgl Antwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 So 12.12.2004
Autor: Chironimus

Hey Nilez, zunächst einmal vielen Dank für die sehr schnelle Antwort.

Ich hab das jetzt im Prinzip verstanden.

Aber

zu a) du hast ja die Folge quadriert, aber warum ist jetzt
[mm] (\wurzel{n+1})^2 [/mm] - [mm] (\wurzel{n})^2 [/mm] = 1   ???
Irgendwie hab ich da jetzt ein Brett vor dem Kopf, aber der Rest ist mir klar ! Jetzt mal noch allgemein, wenn ich das jetzt so hinschreibe wie du, hab ich dann die Konvergenz und den Grenzwert gezeigt ? Also ist das dann korrekt bewiesen ?

zu b) Ja, die Notation hast du richtig verstanden.
        
         Die zusätzliche Folge [mm] b_{n}, [/mm] die du angegeben hast, ist ja korrekt, hab ich überprüft, aber wie bist du mit Hilfe der oberen Summe drauf gekommen ?? Das ist mir auch noch nicht ganz klar. Aber den Rest hab ich wieder verstanden.

Grüße Chiro

Bezug
                        
Bezug
Beliebte Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 So 12.12.2004
Autor: Nilez

Hallo nochmal!

>
> zu a) du hast ja die Folge quadriert, aber warum ist
> jetzt
>  [mm](\wurzel{n+1})^2[/mm] - [mm](\wurzel{n})^2[/mm] = 1   ???

Das Quadrat hebt ja die Wurzel auf, also hast dann: n+1-n, das ist denk ich 1

> Jetzt mal noch allgemein, wenn ich
> das jetzt so hinschreibe wie du, hab ich dann die
> Konvergenz und den Grenzwert gezeigt ? Also ist das dann
> korrekt bewiesen ?

Du kannst das Einschließungsverfahren verwenden, denn es gilt doch:

[mm] 0\le\bruch{1}{\wurzel{n+1}+ \wurzel{n}}\le\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm]

Glaubst du mir dass der Ausdruck ganz rechts gegen 0 geht?

>  
> zu b)  
> Die zusätzliche Folge [mm]b_{n},[/mm] die du angegeben hast, ist ja
> korrekt, hab ich überprüft, aber wie bist du mit Hilfe der
> oberen Summe drauf gekommen ?? Das ist mir auch noch nicht
> ganz klar. Aber den Rest hab ich wieder verstanden.
>  

Zunächst einmal ist [mm] b_{n} [/mm] dein [mm] a_{n} [/mm] in b) :-) (habs nicht korrekt übernommen)

Ich hab für 1+2+3+...+n die Formel eingesetzt, überprüf das mal.
  
Grüße,
Nilez


Bezug
                                
Bezug
Beliebte Folgen: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 So 12.12.2004
Autor: Chironimus


Hi Nilez,

Jaja, der Groschen ist gefallen :-)

Alles klar !

Vielen Dank !!!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]