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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Benennung, Singularitäten
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Benennung, Singularitäten: Korrekturlesung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Mi 18.03.2009
Autor: Marcel08

Hallo Matheraum,


wir haben die folgende Funktion gegeben. Es sollen dabei die Singularitäten angegeben und klassifiziert werden.



[mm] f(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}}+e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2} [/mm]




Mein Lösungsvorschlag lautet wie folgt:



Zunächst würde ich die Funktion folgendermaßen auftrennen


[mm] f_{1}(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}} [/mm]


sowie


[mm] f_{2}(z)=e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2} [/mm]



Dann betrachte ich den Nenner der Funktion [mm] f_{1}(z) [/mm]


[mm] 4+(z-1)^{2}=0 [/mm]

[mm] 4+z^{2}-2z+1=0 [/mm]

[mm] z^{2}-2z+5=0 [/mm]



Die pq- Formel liefert


[mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-5} [/mm]

[mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{-4} [/mm]

[mm] z_{1,2}=1\pm\wurzel{-1}\wurzel{4} [/mm]

[mm] z_{1,2}=1\pm2i, [/mm] mit [mm] i\in\IC [/mm]



Wir erhalten mit [mm] 1\pm2i [/mm] einen Pol der Ordnung 2 und betrachten nun die Funktion [mm] f_{2}(z) [/mm]


Die Funktion ist offensichtlich holomorph auf [mm] \IC [/mm] mit Ausnahme des Punktes 3i. Die Singularität [mm] z_{0} [/mm] lautet also 3i, mit [mm] i\in\IC. [/mm] Es müsste sich dabei um eine wesentliche Singularität handeln.




Meine Bitte:


Ich würde mich freuen, wenn jemand, ein letztes Mal zu diesem Thema, nochmal seinen Kommentar zu meinem Lösungsvorschlag abgeben könnte. Vielen Dank!





Gruß, Marcel

        
Bezug
Benennung, Singularitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mi 18.03.2009
Autor: fred97


> Hallo Matheraum,
>  
>
> wir haben die folgende Funktion gegeben. Es sollen dabei
> die Singularitäten angegeben und klassifiziert werden.
>
>
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}}+e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2}[/mm]
>  
>
>
>
> Mein Lösungsvorschlag lautet wie folgt:
>  
>
>
> Zunächst würde ich die Funktion folgendermaßen auftrennen
>  
>
> [mm]f_{1}(z)=\bruch{1}{4+(z-1)^{2}}[/mm]
>
>
> sowie
>  
>
> [mm]f_{2}(z)=e^{\bruch{1}{z-3i}}(z-3i)^{2}[/mm]
>  
>
>
> Dann betrachte ich den Nenner der Funktion [mm]f_{1}(z)[/mm]
>  
>
> [mm]4+(z-1)^{2}=0[/mm]
>  
> [mm]4+z^{2}-2z+1=0[/mm]
>  
> [mm]z^{2}-2z+5=0[/mm]
>  
>
>
> Die pq- Formel liefert
>  
>
> [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{1-5}[/mm]
>  
> [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{-4}[/mm]
>  
> [mm]z_{1,2}=1\pm\wurzel{-1}\wurzel{4}[/mm]
>  
> [mm]z_{1,2}=1\pm2i,[/mm] mit [mm]i\in\IC[/mm]
>  
>
>
> Wir erhalten mit [mm]1\pm2i[/mm] einen Pol der Ordnung 2 und
> betrachten nun die Funktion [mm]f_{2}(z)[/mm]


Überlege nochmal !  Beides sind Pole der Ornung 1



>  
>
> Die Funktion ist offensichtlich holomorph auf [mm]\IC[/mm] mit
> Ausnahme des Punktes 3i. Die Singularität [mm]z_{0}[/mm] lautet also
> 3i, mit [mm]i\in\IC.[/mm] Es müsste sich dabei um eine wesentliche
> Singularität handeln.

Richtig


FRED

>  
>
>
>
> Meine Bitte:
>  
>
> Ich würde mich freuen, wenn jemand, ein letztes Mal zu
> diesem Thema, nochmal seinen Kommentar zu meinem
> Lösungsvorschlag abgeben könnte. Vielen Dank!
>  
>
>
>
>
> Gruß, Marcel


Bezug
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