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Ich habe folgende Folge gegeben:
1/(n+1) +1/(n+2) + ... 1/(2n) = Summe j=1 -> n 1/(n+j)
Man zeige die Konvergenz der Folge (Hinweis: Monotonie und Beschränktheit)
Gehts weiter mit ner Kurvendiskussion:
(x³+6x²+11x-6)/(x²-1)
einmal das volle Programm, Defbereich, verhalten in den Def.-lücken (Zähler und Nenner jeweils als Produkt von Linearfaktoren zerlegen), Symetrie, Verhalten im Unendlichen & Asymptoten, Nullstellen, Extrema & Monotnieverhalten, Wendepunkte & Krümmungsverhalten, skizze.
Hinweis f"(x) = 24/(x+1)³
Auf (x+1)³ komme ich auch nur nicht auf die 24????
Kann mir bitte einer helfen, da ich das wahrscheinlich am Mittwoch in meiner mündlichen Prüfung benötige.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Schiffbauer!
Bevor Paulus antwortet, schon mal eine kleine Frage von mir:
> (x³+6x²+11x-6)/(x²-1)
Hier hast du dich bestimmt verschrieben, oder?
Muss es nicht richtig
[mm]f(x) = \frac{x^3 - 6 x^2 + 11x - 6}{x^2-1}[/mm]
heißen? Dann stimmt die zweite Ableitung nämlich!
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Schiffbauer Hamburg
> Ich habe folgende Folge gegeben:
>
> 1/(n+1) +1/(n+2) + ... 1/(2n) = Summe j=1 -> n
> 1/(n+j)
>
Dies ist aber keine Folge, sondern eine Reihe! 
(Schau dazu bitte die Definitionen nachmals an, könnte für die Prüfung nützlich sein)
> Man zeige die Konvergenz der Folge (Hinweis: Monotonie und
> Beschränktheit)
>
Dass die Reihe monoton steigend ist, ist klar.
In solchen Fällen kann oft gezeigt werden, dass die Reihe beschränkt ist, wenn alle Summanden (Glieder) der Reihe grösser gemacht werden und gezeigt werden kann, dass die grössere Reihe immer noch beschränkt ist.
In diesem Falle drängt sich für die grösseren Summanden auf: $1/n$
Zu überlegen ist zusätzlich, dass n Summanden (Glieder) vorhanden sind:
$(1/(n+1) +1/(n+2) + ... 1/(2n)) [mm] \leq [/mm] (1/n + 1/n + ... 1/n) = n*1/n = 1$
Die grössere Reihe (Majorante) ist somit beschränkt, also muss es die Originalreihe auch sein, und deshalb natürlich auch konvergent!
> Gehts weiter mit ner Kurvendiskussion:
>
> (x³+6x²+11x-6)/(x²-1)
>
> Hinweis f"(x) = 24/(x+1)³
>
> Auf (x+1)³ komme ich auch nur nicht auf die 24????
>
Das kann ich nicht ganz nachvollziehen. Stimmt deine gegebene Funktion wirklich?
P.S. Bei uns ist eigentlich immer ein Dialog gewünscht, d.h. du sollst uns deine Lösungsansätze/-versuche mitteilen, damit die Aufgaben vorwiegend durch dich selber gelöst werden können. Wir stehen dir dabei einfach dort, wo du ins Stocken gerätst, mit Rat und Tat zur Seite.
Im Weiteren würde ich die beiden Fragen auch als zwei einzelne Fragen (Stränge) ins Forum stellen, da sie nichts miteinander zu tun haben.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus,
> Dass die Reihe monoton steigend ist, ist klar.
Das war mir nicht so klar, ich musste das mühsam ausrechnen:
Beh.: [mm] $s_n
[mm] $\gdw\ \summe_{j=1}^n \bruch{1}{n+j}<\summe_{j=1}^{n+1}\bruch{1}{n+1+j}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \summe_{j=1}^n \bruch{1}{n+j}<\left( \summe_{j=1}^{n}\bruch{1}{n+1+j}\right)+\bruch{1}{n+1+(n+1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \summe_{j=1}^n \bruch{1}{n+j}<\left( \summe_{j=2}^{n+1}\bruch{1}{n+j}\right)+\bruch{1}{n+1+(n+1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \summe_{j=1}^n \bruch{1}{n+j}<\left( \summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{n+j}\right)+\bruch{1}{n+(n+1)}+\bruch{1}{n+1+(n+1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \bruch{1}{n+1}+\left( \summe_{j=2}^n \bruch{1}{n+j}\right) <\left( \summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{n+j}\right)+\bruch{1}{n+(n+1)}+\bruch{1}{n+1+(n+1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \bruch{1}{n+1}<\bruch{1}{n+(n+1)}+\bruch{1}{n+1+(n+1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \bruch{1}{n+1}<\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2*(n+1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \bruch{2*(n+1)}{n+1}<\bruch{2*(n+1)}{2n+1}+\bruch{2*(n+1)}{2*(n+1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 2<\bruch{2*(n+1)}{2n+1}+1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 1<\bruch{2*(n+1)}{2n+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] 2n+1<2*(n+1)$
[mm] $\gdw\ [/mm] 2n+1<2n+2$
[mm] $\gdw\ [/mm] 1<2$
Na gut, ich habe eine paar viele Zwischenschritte gemacht, aber trotzdem hätte ich es nicht sofort gesehen (genaugenommen hatte ich sogar ursprünglich vermutet, die Reihe Folge sei monoton fallend).
Wie hast du das denn so schnell gesehen?
Liebe Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Marc
das war mir im Gegensatz zu dir sofort klar, weil wir die unpräzise Formulierung der Aufgabenstellung unterschiedlich interpretieren.
Ich habe einfach vermutet, dass das allererste Auftauchen des Wortes "Folge" durch "Reihe" zu ersetzen sei.
Somit interpretierte ich, dass die einzelnen Reihenglieder alle positiv sind, und die Teilsummen somit stetig steigen.
Habe ich da etwas völlig Unsinniges interpretiert?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus,
> das war mir im Gegensatz zu dir sofort klar, weil wir die
> unpräzise Formulierung der Aufgabenstellung unterschiedlich
> interpretieren.
> Ich habe einfach vermutet, dass das allererste Auftauchen
> des Wortes "Folge" durch "Reihe" zu ersetzen sei.
>
> Somit interpretierte ich, dass die einzelnen Reihenglieder
> alle positiv sind, und die Teilsummen somit stetig
> steigen.
Moment, so, wie die Aufgabe gestellt ist, ist es doch eher eine Folge als eine Reihe (obwohl man natürlich jede Reihe in eine Folge und umgekehrt umwandeln kann).
Nach der Definition der Folge ist ja nicht unmittelbar
[mm] $s_n=\summe_{j+1}^n a_n$ [/mm] für eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$, [/mm] jedenfalls sehe ich es nicht.
Bei einer Reihe hat man doch schön:
[mm] $s_1=a_1$
[/mm]
[mm] $s_2=a_1+a_2$
[/mm]
[mm] $s_3=a_1+a_2+a_3$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
während wir hier haben:
[mm] $s_1=\bruch{1}{1+1}$
[/mm]
[mm] $s_2=\bruch{1}{2+1}+\bruch{1}{2+1}$
[/mm]
[mm] $s_3=\bruch{1}{3+1}+\bruch{1}{3+2}+\bruch{1}{3+3}$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
Liebe Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo marc, hallo Schiffbauer (falls du das liest)
ich habe die Aufgabenstellung nochmals durchgelesen und muss mich geschlagen geben: Marcs Interpretation ist offensichtlich die Richtige, vergiss also bitte meine bisherigen Antworten zu der 1. Aufgabe und folge den fachkundigen Erläuterungen von Marc
Ich bitte um Entschuldigung!
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paul,
> ich habe die Aufgabenstellung nochmals durchgelesen und
> muss mich geschlagen geben: Marcs Interpretation ist
> offensichtlich die Richtige, vergiss also bitte meine
> bisherigen Antworten zu der 1. Aufgabe und folge den
> fachkundigen Erläuterungen von Marc
Nun ja, ich habe ich mich auch geirrt und den Begriff Reihe verwendet (ist aber jetzt verbessert).
Wie zeigen wir denn jetzt noch die Beschränktheit?
Liebe Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Marc!
Wieso, die Beschränktheit hat Paulus doch bereits gezeigt. Auch wenn er den falschen Begriff verwendet hat, so stimmt die Abschätzung ja trotzdem. Oder?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Julius, Paulus und Schiffbauer_Hamburg,
> Wieso, die Beschränktheit hat Paulus doch bereits gezeigt.
> Auch wenn er den falschen Begriff verwendet hat, so stimmt
> die Abschätzung ja trotzdem. Oder?
Ja, klar, habe mich vertan. Hatte mich von Paulus Aussage "vergiß meine 1. Antwort" und von meiner vorausgegangen Unfähigkeit, es selbst zu zeigen, verleiten lassen
Dann ist die Aufgabe ja jetzt gelöst.
Viele Grüße,
Marc
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