Berechn. v. Komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 02.01.2009 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Es sei [mm] z=(1+i)^{10} [/mm] - [mm] (1-i)^{10}
[/mm]
Berechnen Sie:
Re z (Realteil von Z)
Im z (Immaginärteil von Z)
|z|
arg z |
Ich habe zuerst einzeln die 10-te Potenz von (1+i) und (1-i) mit der Formel von Moivre ausgerechnet:
[mm] (1+i)^{10} [/mm] = [mm] r^{10} [/mm] ( [mm] cos10\phi [/mm] + [mm] sin10\phi [/mm] )
dabei:
[mm] r=\wurzel{1^2+1^2}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] tan\phi=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
da im 1 Quadrant --> [mm] \phi=45°=\bruch{1}{4}\pi [/mm]
[mm] sin45°=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] cos45°=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
--> [mm] (1+i)^{10}=32( \bruch{\wurzel{2}}{2}*10 [/mm] + i [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}*10)= 160\wurzel{2}+i160\wurzel{2}
[/mm]
analog für [mm] (1-i)^{10}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \phi=-\bruch{1}{4}\pi
[/mm]
cos [mm] =\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
sin=- [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
eingesetzt erhalten:
[mm] 160\wurzel{2}-i160\wurzel{2}
[/mm]
beides in den oberen Term eingesetz:
[mm] 2i160\wurzel{2}=i320\wurzel{2}
[/mm]
Daraus folgt:
Re z = 0
Im z [mm] =320\wurzel{2}
[/mm]
[mm] |z|=320\wurzel{2}
[/mm]
arg z = nicht defeniert da im Zähler Null steht. (Kann das so sein? bzw. kann man es so als Ergebnis eingeben?
MfG Splin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Aus [mm] $\sin\left(45°\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] kannst Du nicht folgern, dass gilt: [mm] $\sin(10*45°) [/mm] \ = \ [mm] 10*\bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] .
Damit erhältst Du ja plötzlich Sinuswerte, welche deutlich größer sind als 1.
Es gilt:
[mm] $$\sin(10*45°) [/mm] \ = \ [mm] \sin(450°) [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$\cos(10*45°) [/mm] \ = \ [mm] \cos(450°) [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:46 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Ikarus81 |
Also wäre es im endeffekt ja:
[mm] [\wurzel{2}^{10}*(cos [/mm] 10*45) +i*(sin 10*45)] - [mm] [\wurzel{2}^{10}*(cos [/mm] 10*315) +i*(sin 10*315)]
Hab sowas im Moment auch, nur so als Verständniskontrolle
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Hallo Ikarus81,
> Also wäre es im endeffekt ja:
>
> [mm][\wurzel{2}^{10}*(cos[/mm] 10*45) +i*(sin 10*45)] -
> [mm][\wurzel{2}^{10}*(cos[/mm] 10*315) +i*(sin 10*315)]
Ja.
[mm]\left[ \wurzel{2}^{10}*\left( \ \cos\left(10*45^{\circ}\right) +i*\sin\left(10*45^{\circ}\right) \ \right) \ \right] -\left[\wurzel{2}^{10}*\left( \ \cos \left(10*315^{\circ}\right) +i*\sin\left(10*315^{\circ} \right) \ \right) \ \right][/mm]
>
> Hab sowas im Moment auch, nur so als Verständniskontrolle
Gruß
MathePower
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