Berechne die Ableitung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 01.04.2008 | | Autor: | puldi |
Guten Nachmittag,
[mm] \integral_{1}^{b}{(x³-x) dx}
[/mm]
Die Ableitung wäre dann ja:
b³-b
Wann kann ich das so machen? immer wenn die untere Grenze eine feste Zahl ist und die obere Grenze eien Variabel?
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin³(x) dx}
[/mm]
Warum ist das Integral 0? Immer wenn da zwei feste Zahlen stehen als obere bzw. untere Grneze?
Danke für eure Unterstützung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Di 01.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst einfach das Integral auflösen und ableiten.
[mm] (\integral_{1}^{b}{(x³-x) dx})'=([\bruch{1}{4}x^4-\bruch{1}{2}x^2]^b_1)'=(\bruch{1}{4}b^4-\bruch{1}{2}b^2-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{2})'=b³-b
[/mm]
Es wäre also richtig, zumindest, wenn du nach b ableiten sollst.
Und das 2. Integral ist eine konstante Zahl. Du kannst das Integral ja auch Maßzahl der Fläche unter f(x)=sin³x von 0 bis [mm] \pi [/mm] ansehen (die übrigens [mm] \bruch{4}{3}FE [/mm] beträgt). Und wenn du eine konstante Zahl ableitest, erhälst du immer 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 01.04.2008 | | Autor: | Jedec |
Also wenn $ [mm] \integral_{1}^{b}{(x³-x) dx} [/mm] $ die Aufgabenstellung ist, musst du garnichts ableiten, sondern aufleiten...
Die Lösung würde dann so aussehen:
$ [mm] \integral_{1}^{b}{(x³-x) dx} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{4}b^4-\bruch{1}{2}b^2)-(\bruch{1}{4}1^4-\bruch{1}{2}1^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}b^4-\bruch{1}{2}b^2+\bruch{1}{2} [/mm] $
Du solltest dir erstmal klar machen, was der Ausdruck [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] bedeutet:
Die Fläche unter der Kurve von $ f(x) $ von a bis b.
Du hast sicher eine Formelsammlung, da sind auf jeden Fall Bilder dazu drinnen, die dir das veranschaulichen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Di 01.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo puldi!
Es gilt ja der Hauptsatz der Integralrechnung mit:
[mm] $$\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(x) \ \right]_a^b [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$$
Zudem gilt: $F'(x) \ = \ f(x)$ . Daraus folgt dann auch folgende Gleichheit:
[mm] $$\left( \ \integral_a^x{f(t) \ dt} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(x)-F(a) \ \right]' [/mm] \ = \ F'(x)-F'(a) \ = \ f(x)-0 \ = \ f(x)$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Di 01.04.2008 | | Autor: | puldi |
kann ich da einfach, wenn ich ableite =f(x) schreiben oder muss ich die Schritte vorher auch noch hinschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Di 01.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo puldi!
Das kommt drauf an, ob ihr den oben genannten Satz bereits mehrfach angewandt habt. Oder ob es hier gerade darum geht ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Di 01.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo puldi!
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin³(x) dx}[/mm]
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> Warum ist das Integral 0? Immer wenn da zwei feste Zahlen
> stehen als obere bzw. untere Grneze?
Das hat nichts damit zu tun, dass hier zwei feste Integrationgrenzen vorliegen. Aber sieh Dir mal die Funktion (bzw. deren Kurvenverlauf) im Intervall $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] an. Was fällt Dir auf?
Gruß
Loddar
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