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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}i)^{517} [/mm] |
Mir fällt kein Ansatz zu der Aufgabe ein, kann mir Jemand weiterhelfen?
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Hallo TUDarmstadt,
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> Berechnen Sie
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}i)^{517}[/mm]
> Mir fällt kein Ansatz zu der Aufgabe ein, kann mir Jemand
> weiterhelfen?
Berechne [mm] $\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}i\right)^2=\left(\bruch{1+i}{\wurzel{2}}\right)^2$ [/mm] und mache dir die Potenzgesetze zunutze ...
Gruß
schachuzipus
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[mm] ((\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}i)^2)^{\bruch{517}{2}}= (\bruch{(1+i)^2}{\wurzel{2}^2})^{(\bruch{517}{2}) = (\bruch{(2i)}{2})^(\bruch{517}{2})=i^(\bruch{517}{2})
Ist die Rechnung soweit korrekt?
Nun weiß ich weiter das:
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = -1
usw.
da nun 517/2 = 258,5 ist kann ich darauf schließen, dass das ergebnis
-i/2 lautet?
}[/mm]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
>
> $((\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}i)^2)^{\bruch{517}{2}}= (\bruch{(1+i)^2}{\wurzel{2}^2})^{(\bruch{517}{2}) = (\bruch{(2i)}{2})^(\bruch{517}{2})=i^(\bruch{517}{2})$
Ist die Rechnung soweit korrekt? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun weiß ich weiter das:
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = -1
usw.
da nun 517/2 = 258,5 ist kann ich darauf schließen, dass das ergebnis
-i/2 lautet? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nennen wir diesen Wurzelausdruck mal $a$, dann ist $a^2=i$ und
$a^{517}=a\cdot{}a^{516}=a\cdot{}\left(a^2\right)^{258}=a\cdot{}\left(a^2\right)^{256}\cdot{}\left(a^2\right)^2$
$=a\cdot{}i^{256}\cdot{}i^{2}=a\cdot{}\left(i^{4}\right)^{64}\cdot{}i^2$
$=a\cdot{}...\cdot{}...=...$
Gruß
schachuzipus
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...okay, also kann ich sagen:
[mm] a^{517} [/mm] = [mm] a*a^{516} =a*(a^{2})^{258}=a*i^{258}=a*i{^2}^{129}=a*(-1)^{129}=a*(-1)=-a
[/mm]
= [mm] -(\bruch{1+i}{\wurzel{2}})
[/mm]
Den imaginären Teil kann ich nicht herauslösen, oder?
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Hallo nochmal,
> ...okay, also kann ich sagen:
>
> [mm]a^{517}[/mm] = [mm]a*a^{516} =a*(a^{2})^{258}=a*i^{258}=a*i{^2}^{129}=a*(-1)^{129}=a*(-1)=-a[/mm]
>
> = [mm]-(\bruch{1+i}{\wurzel{2}})[/mm]
>
> Den imaginären Teil kann ich nicht herauslösen, oder?
Wie meinst du das?
Du kannst bei deinem Ergebnis doch die Minusklammer auflösen und es schreiben als [mm] $...=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}i$ [/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Fr 22.01.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] 1+i=\wurzel{2}e^{i\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
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