Berechnung Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:57 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Maiko |
Ich habe Probleme bei der Berechnung folgender Grenzwerte. Dabei soll nicht die Regel de l'Hopital verwendet werden.
Könnte mir bitte jmd. helfen?
lim [ a * sin (b x ) ] / [ c*x ]
x->0
Hier ist die Lösung. Für mich ist das aber nicht ausführlich genug. Ich versteh es nicht richtig.
[Externes Bild http://et.netaction.de/et/bilder/org/939.gif]
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Warum ist der Grenzwert folgenden Ausdrucks = 3/2 ?
[Externes Bild http://et.netaction.de/et/bilder/org/938.gif]
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Und die letzte Frage:
lim x * sin (1/x)
x->0
Hier soll 0 rauskommen. Könnte das jmd. kurz erläutern?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/12257,0.html
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Zu 1) Hast du schon mal von den Regeln von l'Hôpital gehört?
Ist so: wenn gilt, dass beim "Einsetzen" des Grenzwertes sich ein Ausdruck wie [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] ergibt, dann kann man Zähler und Nenner getrennt voneinander ableiten (nicht Quotientenregel verwenden), und diesen neuen Ausdruck untersuchen, der Grenzwert ändert sich dadurch nicht.
Beispiel: [mm]\limes_{x\rightarrow0}{\bruch{sin(x)}{x}} = \bruch{0}{0} = \limes_{x\rightarrow0}{\bruch{cos(x)}{1}}=1[/mm],
da [mm]cos(0)=1[/mm] gilt.
Wobei Ausdrücke wie [mm]\bruch{0}{0}[/mm] natürlich in " " zu lesen / schreiben sind, da sie ja nicht definiert sind.
Das lässt sich auch auf deine Aufgabe anwenden:
[mm]\limes_{x\rightarrow0}{\bruch{a \cdot sin(bx)}{cx}}=\bruch{0}{0}=\limes_{x\rightarrow0}{\bruch{a \cdot b \cdot cos(bx)}{c}}=\bruch{a \cdot b}{c}[/mm]
Zu 2) Klammer mal im Zähler ein [mm]sin(x)[/mm] aus, und kürze es mit dem [mm]sin(x)[/mm] aus der zweiten Klammer des Nenners raus (hier brauchst du nichts ausklammern, da es sowieso schon als Faktor dasteht).
Dann hast du: [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{3-4sin^2(x)}{(4cos^3(x)-3cos(x)) \cdot 2cos(x)}}[/mm]
Und hier geht der Zähler für [mm]x \to 0[/mm] gegen 0, und alle cos-Terme des Nenners gegen 1.
Zu 3) Hier ist es so, dass [mm]x \to 0[/mm] geht, und der Term [mm]sin(x)[/mm] zwischen -1 und +1 wandert. Das erklärt den Grenzwert 0 eigentlich schon, da diese beiden "Teil-Grenzwerte" miteinander multipliziert werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Do 23.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> Dann hast du:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{3-4sin^2(x)}{(4cos^3(x)-3cos(x)) \cdot 2cos(x)}}[/mm]
>
> Und hier geht der Zähler für [mm]x \to 0[/mm] gegen 0, und alle
> cos-Terme des Nenners gegen 1.
*hüstel* Der Gesamtzähler geht für [mm]x \to 0[/mm] natürlich gegen 3, damit Du auch Dein gewünschtes Ergebnis erhältst...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Do 23.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Zum Glück gibt's noch Leute, die mitdenken 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 28.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> lim [ a * sin (b x ) ] / [ c*x ]
> x->0
e.kandrai hat wohl den Hinweis "ohne de l'Hospital" überlesen .
Ein Alternativweg (allerdings auch grundsätzlich anders als Dein Lösungsvorschlag) sieht folgendermaßen aus:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0} \bruch{a*sin(bx)}{c*x}$
[/mm]
$= [mm] \limes_{x\rightarrow0} (\bruch{a}{c}*\bruch{sin(bx)}{x})$
[/mm]
$= [mm] \bruch{a}{c} [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{sin(bx)}{x}$
[/mm]
Substitution: z:= bx [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x = [mm] \bruch{z}{b}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\bruch{a}{c} [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{sin(bx)}{x}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{a}{c} [/mm] * [mm] \limes_{z\rightarrow0} \bruch{sin(z)}{\bruch{z}{b}}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{a}{c} [/mm] * [mm] \limes_{z\rightarrow0} \bruch{b*sin(z)}{z}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{a*b}{c} [/mm] * [mm] \limes_{z\rightarrow0} [\bruch{1}{z} [/mm] * sin(z)]$
Die Sinusfunktion kann man auch als folgende Reihe darstellen:
$sin(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)*(-z)^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{z^1}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{z^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{z^5}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{z^7}{7!} \pm [/mm] ...$
Eingesetzt in unseren Grenzwertausdruck ergibt sich:
[mm] $\bruch{a*b}{c} [/mm] * [mm] \limes_{z\rightarrow0} [\bruch{1}{z} [/mm] * sin(z)]$
$= [mm] \bruch{a*b}{c} [/mm] * [mm] \limes_{z\rightarrow0} [\bruch{1}{z} [/mm] * [mm] (\bruch{z^1}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{z^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{z^5}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{z^7}{7!} \pm [/mm] ...)]$
Ausmultiplizieren mit [mm] $\bruch{1}{z}$:
[/mm]
[mm] $\bruch{a*b}{c} [/mm] * [mm] \limes_{z\rightarrow0} (\bruch{1}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{z^2}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{z^4}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{z^6}{7!} \pm [/mm] ...)$
$= [mm] \bruch{a*b}{c} [/mm] * [mm] \limes_{z\rightarrow0} [/mm] (1 - [mm] \bruch{z^2}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{z^4}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{z^6}{7!} \pm [/mm] ...)$
$= [mm] \bruch{a*b}{c} [/mm] * (1 - [mm] \bruch{0}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{0}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{0}{7!} \pm [/mm] ...)$
$= [mm] \bruch{a*b}{c} [/mm] * 1$
$= [mm] \bruch{a*b}{c}$ [/mm] Voilà!
Mal ein etwas anderer Weg, aber so kann es auch gehen ...
Ehrlich gesagt, hat dieser Weg auch einen logischen "Hinkefuß":
Der Hinweis "ohne de l'Hospital" weist ja darauf hin, daß man eine Lösung ohne Differentialrechnung finden soll.
In der Reihenentwicklung steckt nun aber doch wieder Differentialrechnung (hier im Endergebnis für die Sinus-Funktion nicht sichtbar) ...
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Erstmal danke für eure Hilfe.
Hätte nur nochmal eine kurze Frage zu dem letzten Lösungsweg von Loddar:
Nachdem du x=z/b substituiert hast, steht ja da
a/c * b * ( [ sin z ] / z )
Kann man nicht einfach hier ansetzen und sagen ( [ sin z ] / z ) =1
1 * a/c * b = a/c *b
Das ist doch auch richtig oder?
Natürlich müsste man den Beweis für diese Aussage antreten, dass [ (sin z ) / z ] = 1 ist.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
