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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 So 05.04.2009 | | Autor: | sillix |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{4x}{1-x²} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
das ist mein erster Beitrag hier. Ich hoffe, es klappt alles.
Also ich soll das obige unbestimmte Integral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{4x}{1-x^2} dx} [/mm] lösen. Mein Ansatz war dabei folgender:
=> 4 * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{1-x²} dx}
[/mm]
= 4 * [mm] \integral_{}^{}{x dx} [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2} dx}
[/mm]
dann per Substitution: u = 1 - [mm] x^2 [/mm] = g(x) => [mm] \bruch{du}{dx}=g'(x) [/mm] => dx = [mm] \bruch{du}{-2x}
[/mm]
=> 4 * bruch{1}{2} [mm] x^2 [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*bruch{1}{-2x}*du} [/mm]
= [mm] 2x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{-2x}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u}du}
[/mm]
= - [mm] \bruch{2x^2}{2x} [/mm] * ln|u| + C = -x * [mm] ln{1-x^2} [/mm] + C
Laut Lösung (ohne Lösungsweg) soll aber folgendes herauskommen:
ln [mm] \bruch{1}{(1-x^2)^2}
[/mm]
Irgendwie komme ich nicht auf den richtigen Weg, ich hoffe, ihr könnt mir helfen!!
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4x}{1-x²} dx}[/mm]
> Hallo Leute,
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> das ist mein erster Beitrag hier. Ich hoffe, es klappt
> alles.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
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> Also ich soll das obige unbestimmte Integral
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4x}{1-x^2} dx}[/mm] lösen. Mein Ansatz
> war dabei folgender:
>
> => 4 * [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{1-x²} dx}[/mm]
>
> = 4 * [mm]\integral_{}^{}{x dx}[/mm] *
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2} dx}[/mm]
Bei dieser Umformung ist Dein Wunsch Vater Deiner Gedanken. Es gibt diese Umformung nicht.
> dann per Substitution: u = 1 - $ [mm] x^2 [/mm] $ = g(x) => $ [mm] \bruch{du}{dx}=g'(x) [/mm] $ => dx = $ [mm] \bruch{du}{-2x} [/mm] $
Mach gleich diese Substitution, damit wirst Du glücklich werden.
Übrigens: wenn wir setzen [mm] g(x)=1-x^2, [/mm] dann hast Du hier bis auf einen Faktor ein Integral der Gestalt [mm] \integral{\bruch{g'(x)}{g(x)} dx}, [/mm] dessen Lösung Du vermutlich bereits aus der Schule kennst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 05.04.2009 | | Autor: | sillix |
Hallo Angela!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich habe nun direkt mit der Substitution angefangen, dann steht bei mir:
4 * [mm] \integral_{}{}{-\bruch{x}{2ux}du} [/mm] = 4 * [mm] \integral_{}{}{-\bruch{1}{2u}du}
[/mm]
Wenn ich das weiter auflöse, komme ich leider immer noch nicht zur entsprechenden Lösung :( Irgendetwas mache ich wieder falsch ...
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> mit der Substitution angefangen, dann steht bei mir:
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> 4 * [mm]\integral_{}{}{-\bruch{x}{2ux}du}[/mm] = 4 *
> [mm]\integral_{}{}{-\bruch{1}{2u}du}[/mm]
>
> Wenn ich das weiter auflöse, komme ich leider immer noch
> nicht zur entsprechenden Lösung :( Irgendetwas mache ich
> wieder falsch ...
Hallo,
um zu sagen, was Du falsch machst, müßte man sehen, ws Du tust. Wenn Du mit meinen Hinweisen nicht zurecht kommst, rechne also vor.
Du hast jetzt jedenfalls [mm] 4'\integral_{}{}{-\bruch{1}{2u}du}=4*(-\bruch{1}{2})\integral_{}{}{\bruch{1}{u}du}.
[/mm]
Die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{u} [/mm] solltest Du kennen.
Danach mußt Du dann noch rücksubstituieren, also das u wieder ersetzen durch einen Ausdruck mit x.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 05.04.2009 | | Autor: | sillix |
> Hallo,
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> um zu sagen, was Du falsch machst, müßte man sehen, ws Du
> tust. Wenn Du mit meinen Hinweisen nicht zurecht kommst,
> rechne also vor.
Das mache ich sehr gerne :) Hätte ja sein können, dass ich bei dem Schritt mit der Substiotution etwas falsch gemacht habe.
> Du hast jetzt jedenfalls
> [mm]4'\integral_{}{}{-\bruch{1}{2u}du}=4*(-\bruch{1}{2})\integral_{}{}{\bruch{1}{u}du}.[/mm]
>
> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{u}[/mm] solltest Du kennen.
>
> Danach mußt Du dann noch rücksubstituieren, also das u
> wieder ersetzen durch einen Ausdruck mit x.
Ja, das habe ich getan:
[mm] 4*(-\bruch{1}{2})\integral_{}{}{\bruch{1}{u}du} [/mm] = -2 * [mm] \integral_{}{}{\bruch{1}{u}du} [/mm]
Nun kommt ja das Grund- bzw. Stammintegral zum Tragen:
= -2 * ln |u| mit u = g(x) = 1 - [mm] x^2
[/mm]
= -2 * ln |1 - [mm] x^2|
[/mm]
Und äh .. ja also .. nun ist mir eben erst, wo ich diesen Beitrag schreibe, die entsprechende Logarithmen-Regel eingefallen:
-2 * ln |1 - [mm] x^2| [/mm] = ln | [mm] (1-x^2)^-2 [/mm] | = ln [mm] |\bruch{1}{(1-x^2)^2}|
[/mm]
Peinlich peinlich, ich hatte die Lösung schon auf dem Papier -schäm- Trotzdem vielen Dank für deine Geduld und Ratschläge!! Sonst hätte ich hier noch stundenlang rumgerätselt :D
Gruß,
Patrick
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> Und äh .. ja also .. nun ist mir eben erst, wo ich diesen
> Beitrag schreibe, die entsprechende Logarithmen-Regel
> eingefallen:
Hallo,
das ist doch das beste, was einem beim Schreiben eines Beitrages passieren kann.
Gruß v. Angela
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