Berechnung Ober-/Untersumme < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)=1/2 x²
[mm] f(x)=x^4 [/mm] |
Hallo,
Ich hoffe, dass mir irgendjemand in diesem Forum hier helfen kann...Ich bin seit kurzem in der 12.Klasse und wir haben in Mathe das Thema Integralrechnung angefangen und sollen jetzt als Hausaufgabe die Ober- und Untersumme folgender Aufgaben berechnen:
f(x)= 1/2 x², I=[0;1]
und
f(x)= [mm] x^4, [/mm] I=[0;2]
Doch leider habe ich nicht genau verstanden wie genau ich die Ober-und Untersumme (U4 / O4 und U8/O8) ausrechnen muss.
Daher wäre ich über möglichst schnelle Hilfe mit Rechenweg dankbar! Ich will ja schließlich nicht nur die Lösung sondern auch verstehen wie ich's in
Zukunft selber hinkriegen kann!
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo AnMatheVerzweifelnde,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> f(x)=1/2 x²
>
> [mm]f(x)=x^4[/mm]
> Hallo,
> Ich hoffe, dass mir irgendjemand in diesem Forum hier
> helfen kann...Ich bin seit kurzem in der 12.Klasse und wir
> haben in Mathe das Thema Integralrechnung angefangen und
> sollen jetzt als Hausaufgabe die Ober- und Untersumme
> folgender Aufgaben berechnen:
>
> f(x)= 1/2 x², I=[0;1]
>
> und
>
> f(x)= [mm]x^4,[/mm] I=[0;2]
>
>
> Doch leider habe ich nicht genau verstanden wie genau ich
> die Ober-und Untersumme (U4 / O4 und U8/O8) ausrechnen
> muss.
Erzähl uns doch mal, was Du da nicht genau verstanden hast.
> Daher wäre ich über möglichst schnelle Hilfe mit
> Rechenweg dankbar! Ich will ja schließlich nicht nur die
> Lösung sondern auch verstehen wie ich's in
> Zukunft selber hinkriegen kann!
Das machen wir hier anders herum.
Poste Du uns Deinen bisherigen Rechenweg,
dann können wir schauen, an welcher Stelle
es Probleme gibt.
> Vielen Dank schon mal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Wow so schnelle Hilfe, damit hätte ich nicht gerechnet :)
Das ist mein großes Problem, dass ich keinerlei Ansatz habe, da wir in der Schule alles vorgerechnet bekommen haben und ich mir aus den Sachen keinen Reim bilden kann...
Der Vorgegebene Ansatz zu
f(x)= 1/2 x² ist:
U4= 0.25(1/2* 0.25² + 1/2* 0.5² + 1/2*0.75²)= 7
Warum die 0.25 gewählt wurden ist mir klar, weil das Intervall von 0-1 geht und wir es in vier gleich große Abschnitte einteilen, doch der Rest ist mir schleierhaft..
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Hallo AnMatheVerzeifelnde,
> Wow so schnelle Hilfe, damit hätte ich nicht gerechnet :)
>
> Das ist mein großes Problem, dass ich keinerlei Ansatz
> habe, da wir in der Schule alles vorgerechnet bekommen
> haben und ich mir aus den Sachen keinen Reim bilden
> kann...
>
> Der Vorgegebene Ansatz zu
> f(x)= 1/2 x² ist:
>
> U4= 0.25(1/2* 0.25² + 1/2* 0.5² + 1/2*0.75²)= 7
>
> Warum die 0.25 gewählt wurden ist mir klar, weil das
> Intervall von 0-1 geht und wir es in vier gleich große
> Abschnitte einteilen, doch der Rest ist mir schleierhaft..
Nun, bei der Untersumme, beschreibst Du unterhalb der Funktion Rechtecke ein.
Korrekterweise muss hier stehen:
[mm]U_{4}=0.25*\left(\bruch{1}{2}*0^{2}+\bruch{1}{2}*0.25^{2}+\bruch{1}{2}*0.5^{2}+\bruch{1}{2}*0.75^{2}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Dankeschön :)
Wäre es möglich, dass Sie mir noch erklären wie genau ich die Untersumme auch bei anderen Funktionen herausfinde?
Bzw die Obersumme zu dieser Aufgabe ausrechne..leider fehlt mir dazu jeglicher Ansatz..
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Hallo nochmal,
> Dankeschön :)
>
> Wäre es möglich, dass Sie mir noch erklären wie genau
> ich die Untersumme auch bei anderen Funktionen
> herausfinde?
Das geht ganz genauso wie bei der ersten, schaue dir mal meine andere Antwort an ...
> Bzw die Obersumme zu dieser Aufgabe ausrechne..leider fehlt
> mir dazu jeglicher Ansatz..
Für die Obersummen brauchst du andere Höhen, jeweils die Funktionswerte an den Stellen, wo die rechte Rechteckseite liegt.
Siehe auch dazu die andere Antwort ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo AMV,
bitte Fragen als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!
> Wow so schnelle Hilfe, damit hätte ich nicht gerechnet :)
>
> Das ist mein großes Problem, dass ich keinerlei Ansatz
> habe, da wir in der Schule alles vorgerechnet bekommen
> haben und ich mir aus den Sachen keinen Reim bilden
> kann...
>
> Der Vorgegebene Ansatz zu
> f(x)= 1/2 x² ist:
>
> U4= 0.25(1/2* 0.25² + 1/2* 0.5² + 1/2*0.75²)= 7
>
> Warum die 0.25 gewählt wurden ist mir klar, weil das
> Intervall von 0-1 geht und wir es in vier gleich große
> Abschnitte einteilen,
Ganz genau!
> doch der Rest ist mir schleierhaft..
Na, du berechnest doch Flächeninhalte von Rechtecken, die du dann aufsummierst (hier zur Untersumme)
Alle haben wegen der Unterteilung des Intervalls [mm][0,1][/mm] in 4 gleichgroße Teilintervalle dieselbe Breite, nämlich [mm]0,25[/mm] oder [mm]\frac{1}{4}[/mm]
Und Rechteckflächen berechnet man doch per Formel "Breite * Höhe"
Die Breite eines jeden Rechtecks ist also [mm]0,25[/mm]
Und die Höhe gibt doch jeweils der Funktionswert an der entsprechenden Rechteckseite an (für die Untersumme jeweils die linke Seite - für die Obersumme entsprechend jeweils die rechte Seite).
Für das erste Rechteck, das von [mm]0[/mm] bis [mm]0,25[/mm] geht, die linke Seite ist bei [mm]x=0[/mm] und [mm]f(0)=\frac{1}{2}\cdot{}0^2=0[/mm]
Das erste Rechteck hat also die Fläche [mm]\underbrace{0,25}_{\text{Breite}}\cdot{}\underbrace{0}_{\text{Höhe}=f(0)}=0[/mm]
Das wird also weggelassen.
Das zweite Rechteck geht in der Breite von [mm]x=0,25[/mm] bis [mm]x=0,5[/mm] , die linke Seite ist also bei [mm]x=0,25[/mm]
Die Höhe entsprechend [mm]f(0,25)=\frac{1}{2}\cdot{}0,25^2[/mm]
Also die Fläche: "Breite * Höhe" [mm]=0,25*f(0,25)=0,25*1/2*0,25^2[/mm]
Nun schaue dir mal an, wie das für die verbleibenden 2 Rechtecke aussieht ...
Dann wird über alle Recktecksflächen summiert (dabei kann man wie in der Formel, die du hingeschrieben hast, [mm]0,25[/mm] ausklammern)
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank! Dank Ihnen habe ich das Thema verstanden :) Jedenfalls fürs Erste!
Gruß
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