Berechnung Rendite Anleihe < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 15.04.2010 | | Autor: | andi02 |
| Aufgabe | Folgende Anleihen mit entsprechender Laufzeit, Kupons und aktuelle Preise stehen zur Auswahl. Welche Anleihe ist vorteilhafter aus der Sicht eines Buy-and-Hold Investor?
Bond 1: Kupon 6, Preis 99,1, Laufzeit 4 Jahre, Nominale 100
Bond 2: Kupon 7, Preis 101,8, Laufzeit 4 Jahre, Nominale 100 |
Mir ist klar, dass man hier jeweils die Rendite ausrechnen muss, nur hab ich keine Ahnung, wie ich ein solches Polynom 4. Grades lösen soll. Das Ergebnis sollte bei Bond 1 6,26 % und bei Bond 2 6,47 % sein.
LG
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://forum.oeh-wu.at/threads/78710-Berechnung-Rendite-von-Anleihen-%28Konstantinov%29?p=776852#post776852
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Hallo andi02,
> Welche Anleihe ist vorteilhafter aus der Sicht eines Buy-and-Hold Investor?
>
> Bond 1: Kupon 6, Preis 99,1, Laufzeit 4 Jahre, Nominale 100
> Bond 2: Kupon 7, Preis 101,8, Laufzeit 4 Jahre, Nominale 100
> Mir ist klar, dass man hier jeweils die Rendite ausrechnen
> muss, nur hab ich keine Ahnung, wie ich ein solches Polynom
> 4. Grades lösen soll. Das Ergebnis sollte bei Bond 1 6,26
> % und bei Bond 2 6,47 % sein.
Da beide Anleihen die gleiche Laufzeit und den gleichen Nennwert haben sind Sie vergleichbar. Sie unterscheiden sich lediglich im der Höhe des Kuponzinses.
Da Anleihe 1 unter pari (99,1) notiert, kann man schlussfolgern, dass hier ein Marktzins von mehr als 6,0 % existieren muss (wenn der Marktzins größer als der Kuponzins ist, notiert die Anleihe unter pari). Bei Anleihe 2 existiert offensichtlich ein Marktzins von weniger als 7,0 %, da die Anleihe über pari (101,8) notiert.
Wenn eine Anleihe erworben und bis zur Endfälligkeit (hier in beiden Fällen 4 Jahre) gehalten wird, entspricht der Marktzins bei Erwerb der Anleihe dem YTM (Yield to maturity = Verzinsung bis zur Endfälligkeit der Anleihe). Und genau diesen müsstest du, wie du schon festgestellt hast, ermitteln.
Das Polynom vierten Grades zwingt dich - meiner Meinung nach - allerdings dazu hier die klassische try-and-error-Methode durchzuführen. Du könntest bei Anleihe 1 ja mit einem Zins von 6,5% beginnen und dann schauen, ob der Wert aller diskontierter Zahlungen größer oder kleiner als 99,1 ist. Ist er geringer als 99,1, dann muss die Verzinsung am Markt höher als 6,5 % sein - du müsstest also einen höheren Zins für die nächste Kalkulation wählen (un dvice versa). So tastest du dich Stück für Stück an den richtigen Zins heran. Bei Anleihe 2 wäre das gleiche zu tun, nur müsstest du dich dort von 7,0 % abwärts bewegen.
Wenn noch Fragen sind, dann her damit. 
Gruß,
Tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Mir ist klar, dass man hier jeweils die Rendite ausrechnen
> muss, nur hab ich keine Ahnung, wie ich ein solches Polynom
> 4. Grades lösen soll. Das Ergebnis sollte bei Bond 1 6,26
Taschenrechner und Matheprogramme bieten solver, die Nullstellen finden.
Von Hand nimmst Du das ![[]](/images/popup.gif) Newton-Verfahren (btw. Wikipedia hat hier die beste Animation zum Verfahren, die ich je gesehen habe =).
Der Einfachheit halber berechnen wir [mm] $x:=\frac1{1+r}$, [/mm] wobei r der Zins ist.
Dann ist die Formel für die erste:
[mm] $f(x):=(100+6)x^4+6x^3+6x^2+6x-99,1\overset{!}{=}0$
[/mm]
dann die Ableitung bilden und in die Iterationsformel des Newton-Verfahrens einsetzen:
[mm] $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
[/mm]
Jetzt fehlt noch ein Startwert [mm] $x_0$. [/mm] Wir wissen, daß r um die 6% sein wird (wenn wir uns das ganze einfach nur ansehen), also ist
[mm] $x_0=\frac1{1+0.06}$
[/mm]
ein guter Startwert.
Da er so gut ist, und die Funktion in der Umgebung der Nullstelle sehr human aussieht, konvergiert es in 2 Schritten auf ausreichende Genauigkeit.
Zu Computerprogrammen. In R sieht das ganze so aus:
| 1: | > z<- function (x,K,P) (100+K)/x^4 + K*(1/x^3 + 1/x^2 + 1/x) - P
| | 2: | > uniroot(z, c(0.5, 1.5), K = 6, P = 99.1, tol = 1e-10)
| | 3: | $root
| | 4: | [1] 1.062613
| | 5: |
| | 6: | $f.root
| | 7: | [1] 8.526513e-13
| | 8: |
| | 9: | $iter
| | 10: | [1] 9
| | 11: |
| | 12: | $estim.prec
| | 13: | [1] 5.000045e-11
| | 14: |
| | 15: | > uniroot(z, c(0.5, 1.5), K = 7, P = 101.8, tol = 1e-10)
| | 16: | $root
| | 17: | [1] 1.064749
| | 18: |
| | 19: | $f.root
| | 20: | [1] 1.094236e-12
| | 21: |
| | 22: | $iter
| | 23: | [1] 9
| | 24: |
| | 25: | $estim.prec
| | 26: | [1] 5.000045e-11
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ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 16.04.2010 | | Autor: | andi02 |
Vielen Dank für die bisherhigen Antworten. Da ich es leider wenn händisch rechnen werde müssen (nicht einmal programmierbare Taschenrechner) - könnte man den YTM nicht auch Annäherungsweise mittels Interpolationsformel errechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Vielen Dank für die bisherhigen Antworten. Da ich es
> leider wenn händisch rechnen werde müssen (nicht einmal
> programmierbare Taschenrechner) - könnte man den YTM nicht
> auch Annäherungsweise mittels Interpolationsformel
> errechnen?
Erm, die Hälfte meiner Antwort sagt, wie Du's per hand machst...
=)
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Josef |
Hallo andi,
> Vielen Dank für die bisherhigen Antworten. Da ich es
> leider wenn händisch rechnen werde müssen (nicht einmal
> programmierbare Taschenrechner) - könnte man den YTM nicht
> auch Annäherungsweise mittels Interpolationsformel
> errechnen?
Ja, kannst du!
Bei Berechnung von Kurs und Effektivverzinsung wird üblicherweise die Kursformel angewandt:
[mm] \bruch{6}{q^4}*\bruch{q^4 -1}{q}*\bruch{100}{q^4} [/mm] = 99,1
Durch lineare Interpolation ergibt sich durch mehrere Schritte q:
1. Schritt:
[mm] \bruch{6}{99,1}*100 [/mm] = 6,05449
2. Schritt:
6,05449 + [mm] \bruch{100-99,1}{4} [/mm] = 6,27949
3. Schritt:
6,05449 + [mm] \bruch{\bruch{100-99,1}{4}}{99,1}*100 [/mm] = 6,28153
Die Effektivverzinsung beträgt also ungefähr 6,27949 % bzw. 6,28153 %.
4. Schritt:
bei einem Zins von 6,27949 % ergibt sich ein Kurs von 99,0376
Tatsächlich beträgt der Kurs jedoch 99,1.
Die Effektivverzinsung muss unter 6,27949 liegen.
Zur Verfeinerung der Berechnung wird davon ausgegangen, dass die Effektivverzinsung zwischen 6 % und 6,28 % liegt.
Bei einem Zinssatz von 6 % ergibt sich ein Kurs von:
[mm] \bruch{6}{1,06^4}*\bruch{1,06^4 -1}{0,06}+\bruch{100}{1,06^4} [/mm] = 100
und bei einem Zinssatz von 6,28 %:
[mm] \bruch{6}{1,0628^4}*\bruch{1,0628^4 -1}{0,0628}+\bruch{100}{1,0628^4} [/mm] = 99,0359
5. Schritt:
Die Effektivverzinsung bei einem Kurs von 99,1 läßt sich nun durch lineare Interpolation ermitteln. Aus der Relation
[mm] \bruch{100-99,1}{100-99,0359} [/mm] = [mm] \bruch{6-p}{6-6,28}
[/mm]
ergibt sich durch Auflösung nach p die Effektivverzinsung von 6,26138 %.
Viele Grüße
Josef
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