Berechnung Schnittpunkt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Gerade g durch A und B sowie die Gerade h durch C und D. Zeigen Sie, dass die Geraden sich schneiden, und berechnen Sie den Schnittpunkt S.
A (3/1/2), B (5/3/4)
C (2/1/1), D (3/3/2) |
Habe ich hier richtig gerechnet?:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{3 \\ 1 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+s*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Dann habe ich beide Gleichungen gleichgesetzt:
[mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2}+t*\vektor{2 \\ 2 \\ 2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+s*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Dann habe ich die Variablen auf eine Seite gezogen:
[mm] t*\vektor{2 \\ 2 \\ 2}-s*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Dann habe ich 3 Gleichungen aufgestellt:
I. 2t-s=-1
II. 2t-2s=o
III. 2t-s=-1
Dann habe ich die I. und die II. Gleichung nach t umgestellt:
I. 2t-s=-1
[mm] \gdw [/mm] 2t=-1+s
[mm] \gdw t=-0,5+\bruch{s}{2}
[/mm]
II. 2t-2s=0
[mm] \gdw [/mm] 2t=2s
[mm] \gdw [/mm] t=s
t=s bedeutet doch, dass diese Gleichung unendliche viele Lösungen hat...? Kann ich hier noch weiterrechnen, um den Schnittpunkt rauszubekommen oder gibt es keinen Schnittpunkt hier??
Ich bedanke mich schon einmal für jede Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo leasarfati!
Ich kann keinen Fehler entdecken. Setze nun $t \ = \ s$ in die erste sowie dritte Gleichung ein und bestimme die letzte verbliebene Variable.
Es sollte jeweils dasselbe Ergebnis herauskommen, wenn ein Schnittpunkt existieren soll.
Gruß
Loddar
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würde das nicht gehen, wenn ich die I. und II. Gleichung gleichsetze?:
[mm] -0,5+\bruch{s}{2}=s
[/mm]
[mm] \gdw -0,5=s-\bruch{s}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -1=2s-s
[mm] \gdw [/mm] -1=s
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Hallo,
> würde das nicht gehen, wenn ich die I. und II. Gleichung
> gleichsetze?:
>
> [mm]-0,5+\bruch{s}{2}=s[/mm]
> [mm]\gdw -0,5=s-\bruch{s}{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] -1=2s-s
> [mm]\gdw[/mm] -1=s
das ist richtig, allerdings immer noch zu umständlich. Mit Loddars Tipp kommst du vermittelst der Gleichung I. doch direkt auf die Lösung s=-1.
Gruß, Diophant
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Wie muss ich jetzt weitermachen? Kann ich jetzt s=-1 in die Ausgangsgleichung [mm] h:\vec{x} [/mm] einsetzen? Und dann habe ich doch den Schnittpunkt raus oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 08.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Wie muss ich jetzt weitermachen? Kann ich jetzt s=-1 in die
> Ausgangsgleichung [mm]h:\vec{x}[/mm] einsetzen? Und dann habe ich
> doch den Schnittpunkt raus oder?
>
Ja, das hast du - genauer gesagt hast du den Ortsvektor des Schnittpunktes.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mi 08.05.2013 | | Autor: | leasarfati |
DANKESCHÖN!!
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