Berechnung d. Orthonormalbasis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 20.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome [mm] R_{\le2}[x] [/mm] mit dem Skalarprodukt:
[mm] :=r_2*s_2+2*r_1*s_1+r_0*s_0
[/mm]
mit [mm] r(x)=r_2*x^2+r_1*x+r_0 [/mm] , [mm] s(x)=s_2*x^2+s_1*x+s_0 [/mm] und eine Basis
[mm] B=\left\{p_1(x),p_2(x),p_3(x)\right\} [/mm] mit [mm] p_1(x)=3*x^2+3*x+3 [/mm] , [mm] p_2(x)=12*x^2+4 [/mm] ,
[mm] p_3(x)=2.
[/mm]
a)Berechnen Sie das normierte Polynom [mm] q_1(x):=\frac{p_1(x)}{\left || p_1(x) \right ||} [/mm] |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich weiss einfach nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Ist mein Ansatz richtig?
[mm] q_1(x)=\frac{3*x^2+3*x+3}{\left||3*3+2*3*3+3\right||}
[/mm]
Liebe Grüsse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Sa 20.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Fast:
Du hast im Nenner eine drei übersehen, und die Normsymbole sind zuviel:
Dafür fehlt die Wurzel:
Also:
$ [mm] q_1(x)=\frac{3\cdot{}x^2+3\cdot{}x+3}{\wurzel{3\cdot{}3+2\cdot{}3\cdot{}3+3*\red{3}}} [/mm] $
[mm] =\bruch{3x^2+3x+3}{\wurzel{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Sa 20.06.2009 | | Autor: | equity |
Vielen Dank :o)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 20.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | | b) Berechnen Sie [mm] l_2(x):=p_2(x)-q_1(x) [/mm] |
Ich habe zu der von mir schon gestellten Aufgabe noch eine Frage, also zu einer weiteren Unteraufgabe:
Ich habe somit folgende Gleichung aufgestellt:
[mm] l_2(x)=(12*x^2+4)-<(12*x^2+4),\frac{1}{2}(x^2+x+1)>\frac{1}{2}(x^2+x+1)
[/mm]
und folgendes langes Ergebnis:
[mm] l_2(x)=-3*x^6-6*x^5-10*x^4-8*x^3+6*x^2-2*x+3
[/mm]
Kann das stimmen? Das Ergebnis kommt mir zu riesig vor...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 20.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich vermute, du hast beim Skalarprodukt nen paar dreher drin.
Also:
[mm] l_{2}(x):=p_{2}(x)-*q_1(x)
[/mm]
[mm] =12x^{2}+4-\green{<(12\cdot{}x^2+4),\frac{1}{2}(x^2+x+1)>}*\frac{1}{2}(x^{2}+x+1)
[/mm]
[mm] =12x^{2}+4-\green{(12*1+2*0*1+4*1)}*\frac{1}{2}(x^{2}+x+1)
[/mm]
[mm] =12x^{2}+4-\bruch{\green{16}}{2}(x^{2}+x+1)
[/mm]
[mm] =12x^{2}+4-(8x^{2}+8x+8)
[/mm]
Jetzt noch die Minusklammer auflösen, und zusammenfassen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 20.06.2009 | | Autor: | equity |
Oh, jetzt sehe ich erst, was für einen Quatsch ich gemacht habe, danke schön!
Aber eine Frage hierzu noch:
> [mm]l_{2}(x):=p_{2}(x)-*q_1(x)[/mm]
>
> [mm]=12x^{2}+4-\green{<(12\cdot{}x^2+4),\frac{1}{2}(x^2+x+1)>}*\frac{1}{2}(x^{2}+x+1)[/mm]
Was passiert eigentlich mit dem [mm] \frac{1}{2} [/mm] in den Klammern <,> ? Fällt das weg?
> [mm]=12x^{2}+4-\green{(12*1+2*0*1+4*1)}*\frac{1}{2}(x^{2}+x+1)[/mm]
> [mm]=12x^{2}+4-\bruch{\green{16}}{2}(x^{2}+x+1)[/mm]
> [mm]=12x^{2}+4-(8x^{2}+8x+8)[/mm]
>
> Jetzt noch die Minusklammer auflösen, und zusammenfassen.
>
> Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Sa 20.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Oh, jetzt sehe ich erst, was für einen Quatsch ich gemacht
> habe, danke schön!
>
> Aber eine Frage hierzu noch:
>
>
> > [mm]l_{2}(x):=p_{2}(x)-*q_1(x)[/mm]
> >
> >
> [mm]=12x^{2}+4-\green{<(12\cdot{}x^2+4),\frac{1}{2}(x^2+x+1)>}*\frac{1}{2}(x^{2}+x+1)[/mm]
>
> Was passiert eigentlich mit dem [mm]\frac{1}{2}[/mm] in den Klammern
> <,> ? Fällt das weg?
Oops, das habe ich übersehen, das bleibt natürlich.
Also ist das Skalarprodukt (bei uns in den Vorlesungen nicht umsonst mit SKALP abgekürzt)
[mm] \left<\left(12\cdot{}x^2+4\right);\frac{1}{2}\left(x^2+x+1\right)\right>
[/mm]
[mm] =\left<\left(12\cdot{}x^2+0x+4\right);\left(\bruch{1}{2}x²+\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}\right)\right>
[/mm]
[mm] =12*\bruch{1}{2}+2*0*\bruch{1}{2}+4*\bruch{1}{2}=8
[/mm]
>
Also: [mm] l_{2}(x)=12x^{2}+4-\bruch{\green{8}}{2}(x^{2}+x+1)
[/mm]
Marius
|
|
|
|
