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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Do 05.10.2006 | | Autor: | b-i-n-e |
| Aufgabe | der folgende graph ist die normalparabel mit der gleichung [mm] f(t)=x^2 [/mm]
es soll das flächenmaß der fläche unter der normalparabel über dem intervall [0;1] berechnet werden. Eingezeichnet sind 10 einbeschriebene Rechtecke. die summe ihrer Flächenmaße ist ein näherungswert S10 für das gesuchte flächenmaß.
1) brechnen sie S20
2) Nun sei die anzahl n der eingeschriebenen rechtecke beliebig,aber fest vorgegeben. notieren sie den term für das k-te der n einbeschriebenen rechtecke, wobei k eine zahl zwischen 1 und n sein soll.
3) für beliebiges aber festes n gilt Sn= [mm] 1/n^3x(n^3/2-n^2/2+n/6) [/mm] bestätigen sie das ergebnis der aufgabe 1 und untersuchen sie, was passiert, wenn man die anzahl der einbeschriebenen rechtecke beliebig groß macht. |
hey retter in der not :)
ich versteh absolut gar nicht was ich hier machen soll, bzw wie ich es anstellen soll diese aufgaben zu lösen. ich grübel seit 2 tage über dieser doofe aufgabe und bekomme einfach nichts raus... morgen muss ich die hausaufgabe vortragen :( wenn du mir hilfst, hättest du für heute deine gute tat vollbracht ;) liebe grüße und danke im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo sabrina und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> der folgende graph ist die normalparabel mit der gleichung
> [mm]f(t)=x^2[/mm]
> es soll das flächenmaß der fläche unter der normalparabel
> über dem intervall [0;1] berechnet werden. Eingezeichnet
> sind 10 einbeschriebene Rechtecke. die summe ihrer
> Flächenmaße ist ein näherungswert S10 für das gesuchte
> flächenmaß.
Wenn in das Intervall [0;1] 10 Rechtecke eingesetzt werden sollen, heisst das, dass eines von ihnen [mm] \bruch{1}{10} [/mm] "breit" sein muss.
Jetzt solltest du dir klarmachen, dass jedes dieser Rechtecke mit der vorderen Kante obenan den Graphen stösst. Also hat es die Höhe f(x-Wertder vorderen Kante)=(vordere Kante)². Die vordere Kante ist jetzt vomeinzelnen Rechteck abhängig, aber du weisst, dass es 10 Rechtecke gibt,d.h die Werte der vorderen Kanten sind
[mm] 0*\bruch{1}{10}, 1*\underbrace{\bruch{1}{10}}_{Breite der Rechtecke}, 2*\bruch{1}{10},...,10*\bruch{1}{10}.
[/mm]
Also hat das erste Rechteck die Fläche [mm] A=\underbrace{0*\bruch{1}{10}}_{Grundseite}*\underbrace{(0*\bruch{1}{10})²}_{Hoehe}.
[/mm]
Das zweite RE hat [mm] A=1*\bruch{1}{10}*(1*\bruch{1}{10})².
[/mm]
und das letzte RE hat [mm] A=10*\bruch{1}{10}*(10*\bruch{1}{10})²
[/mm]
Also ist die Gesamtfläche der Rechtecke:
[mm] \underbrace{\bruch{1}{10}(0+1+2+...+10)}_{v.d.Grundflaechen}*\underbrace{(\bruch{1}{10})²*(0²+1²+2²+...+10²)}_{v.d.Hoehen}
[/mm]
Jetzt brauchst du noch folgende Formeln, um ein wenig zusammenzufassen:
[mm] 1+2+3+...+n=\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] und [mm] 1²+2²+...+n²=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}.
[/mm]
Beweise für die erste Formel findest du ![[]](/images/popup.gif) hier
Für die quadrat.Formel gibts hier den Beweis.
Also wird [mm] \underbrace{\bruch{1}{10}(0+1+2+...+10)}_{v.d.Grundflaechen}*\underbrace{(\bruch{1}{10})²*(0²+1²+2²+...+10²)}_{v.d.Hoehen}
[/mm]
[mm] zu\bruch{1}{10}(\bruch{5+6}{2})*(\bruch{1}{10})²*(\bruch{10*11*21}{6})
[/mm]
Das ist dein [mm] s_{10}.
[/mm]
Für dein [mm] s_{20} [/mm] unddein [mm] s_{n} [/mm] für n Rechtecke brauchst du jetzt nur noch die Breite eines Rechtecks zu ändern.
> 1) brechnen sie S20
> 2) Nun sei die anzahl n der eingeschriebenen rechtecke
> beliebig,aber fest vorgegeben. notieren sie den term für
> das k-te der n einbeschriebenen rechtecke, wobei k eine
> zahl zwischen 1 und n sein soll.
> 3) für beliebiges aber festes n gilt Sn=
> [mm]1/n^3x(n^3/2-n^2/2+n/6)[/mm] bestätigen sie das ergebnis der
> aufgabe 1 und untersuchen sie, was passiert, wenn man die
> anzahl der einbeschriebenen rechtecke beliebig groß macht.
In Aufgabe 3 musst du jetzt in deiner Formel für [mm] s_{n} n\to\infty [/mm] laufen lassen.
> hey retter in der not :)
Naja, übertreibs nicht
Hilft das weiter?
Wenn nicht, hab keine Scheu weiterzufragen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 05.10.2006 | | Autor: | b-i-n-e |
hat denn das letzte RE, wie du es nennst dann nicht die formel [mm] 9x1/10x(9x1/10^2)? [/mm] da ja das 1. RE mit 0x1/10 anfängt, müsste das 10. RE doch dann eigentlich 9x1/10 sein oder? also sozusagen k-1x1/n? (k= Nummer des betrachtetem REs) (n=gesamtanzahl der Res)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> hat denn das letzte RE, wie du es nennst dann nicht die
> formel [mm]9x1/10x(9x1/10^2)?[/mm] da ja das 1. RE mit 0x1/10
> anfängt, müsste das 10. RE doch dann eigentlich 9x1/10 sein
> oder? also sozusagen k-1x1/n? (k= Nummer des betrachtetem
> REs) (n=gesamtanzahl der Res)
Hast recht.
Marius
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