Berechnung der Reihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Fr 27.01.2006 | | Autor: | MarcoFN |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{i}}{2i+1}=1- \bruch{1}{3}+ \bruch{1}{5}-...! [/mm] |
Hallo erst mal,
ist heut das erst mal das ich was poste.
Das oben war eine Aufgabe in der letzten klausur bei uns 1. Semester Mathe 1
Leider habe ich keinen Ansatz diese Aufgabe zu lösen.
Viellicht kann mir jemand helfen, denn am Montag hab ich Mathe Klausur...
Danke im Voraus
Gruss Marco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:26 Sa 28.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hi,
die Reihe konvergiert auf jeden Fall nach dem Leibniz-Kriterium, ist also < [mm] \infty
[/mm]
Liebe Grüße,
djmatey
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Hallo Marco,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Reihe hat eine starke Ähnlichkeit mit der Taylorentwicklung des arctan an der Stelle null
[mm] arctan(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{2i+1}x^{2i+1}
[/mm]
Nun müsste man eigentlich noch zeigen das das Resglied der Taylorentwicklung gegen null geht.
Dann kann man folgern das der Grenzwert der Reihe gleich dem [mm] arctan(1)=\bruch{\pi}{4} [/mm] ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Marco,
ich mache aus deiner Reihe die Potenzreihe
[mm] $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{2i+1}(1-x)^{2i+1}$, [/mm] deren Wert wir für x=0 berechnen.
Wenn du diese Potenzreihe gliedweise differenzierst, erhältst du (sofern du gliedweise differenzieren darfst)
[mm] $\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i-1}(1-x)^{2i}$, [/mm] bzw.
[mm] $\sum_{i=0}^{\infty}-\left(-(1-x)^{2}\right)^{i}$.
[/mm]
Diese geometrische Reihe hat (falls sie konvergiert) den Wert
[mm] $-\frac{1}{1+(1-x)^2}$
[/mm]
Diese Funktion kann man Integrieren, indem man
$u=(1-x)$
substituiert. Dann ist du/dx=(-1), d.h. dx=-du.
Also ist
[mm] $\int-\frac{1}{1+(1-x)^2}dx$=$\int\frac{1}{1+u^2}du$=$\arctan(u)+C$=$\arctan(1-x)+C$.
[/mm]
Für x=1 muss (siehe Wert der Potenzreihe, von der wir ausgegangen sind) C=0 gelten.
Somit ist der Wert der zu untersuchenden Potenzreihe [mm] $\arctan(1)+0$=$\frac{\pi}{4}$,
[/mm]
so wie Christian es geschrieben hat.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 28.01.2006 | | Autor: | MarcoFN |
Hallo erst mal Danke an alle.
Ich kann das soweit nachvollziehen, bis auf die Gliedweise Differenzierung,
für eine genaue Erläuterung wäre ich euch Dankbar.
Der Wert der Reihe ist korrekt, weil ich mir das als Ergebnis aufgeschrieben hatte.
Aber ehrlich gesagt finde ich die Aufgabe schon ziemlich hart für ein erstes Semester an einer Fachhochschule.
Gruss Marco
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Hallo Marco,
ich gehe aus von einer Potenzreihe mit den Summanden [mm] $\frac{(-1)^{i}}{2i+1}(1-x)^{2i+1}$.
[/mm]
Die Ableitung eines solchen Summanden ist
[mm] $\frac{(-1)^{i}}{2i+1}\cdot(2i+1)(1-x)^{2i}(-1)$.
[/mm]
Danach habe ich $(2i+1)$ gekürzt und den Faktor $(-1)$, der durch das Nachdifferenzieren von $(1-x)$ entstanden ist, mit [mm] $(-1)^{i}$ [/mm] zusammengefasst. Das ergab
[mm] $(-1)^{i-1}(1-x)^{2i}$.
[/mm]
Dann habe ich [mm] $(-1)^{i-1}$ [/mm] als [mm] $-(-1)^{i}$ [/mm] geschrieben und [mm] $(1-x)^{2i}$ [/mm] als [mm] $\left((1-x)^2\right)^{i}$. [/mm] Die i-ten Potenzen von $(-1)$ und [mm] $(1-x)^2$ [/mm] habe ich noch zusammengefasst, so dass letztlich [mm] $-\left(-(1-x)^{2}\right)^{i}$
[/mm]
rauskam.
Ich denke, du musst bei einer solchen Frage wissen, zu welcher Funktion diese Potenzreihe gehört, sonst hast du kaum eine Chance, sie in einer Klausur zu beantworten.
Hugo
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