Berechnung des Abstandes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. Ich habe eine frage. Es geht um den Abstand zwischen 2 Polynomen.
Aufgabe:
Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome
[mm] \IR_\le2[x]
[/mm]
mit dem Skalarprodukt
[mm] =\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
Ich soll nun die Quadrate der Abstände
[mm] d^2_1_,_2=||p_1-p_2||
[/mm]
[mm] d^2_2_,_3=||p_2-p_3||
[/mm]
[mm] d^2_1_,_3=||p_1-p_3||
[/mm]
zwischen den Polynomen
[mm] p_1(x)=4+2x-4x^2
[/mm]
[mm] p_2(x)=4-2x-3x^2
[/mm]
[mm] p_3(x)=-4+1x-2x^2
[/mm]
berechnen.
Mein Problem ist jetzt zunächst die Norm [mm] \IR_\le2[x]:
[/mm]
Woran erkenne ich, wie diese definiert ist? Könnte es sein das sie durch das Integral folgendermaßen definiert ist:
||q||=Max{|q(x)| |-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1}?
Wenn ja, kann ich die Norm dann immer so erkennen? Ich brauch dabei irgendwie hilfe.
Mit freunldichen Grüßen Domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 So 06.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
in reellen V-Räumen mit Skalarprodukt ist die (durch das Skalarprodukt induzierte) Norm eines Vektor immer die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.
Gruß
Will
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:31 So 06.01.2008 | | Autor: | domenigge135 |
Okay also das versteh ich leider garnicht. Wie würde das denn für mein 1. Beispiel aussehen? Also Was ist jetzt meine Norm statt Norm kann ich ja auch Länge nehmen Was das mit der Quadratwurzel in deiner Antwort für mich verständlich macht. Aber was mus ich jetzt in die Quadratwurzel einsetzen? Das Skalarprodukt des Vektors? Muss ich dafür erst integrieren? Wenn ja was? Denn q(x) kenn ich ja garnicht!
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Hallo domenigge135!
> Okay also das versteh ich leider garnicht. Wie würde das
Was er sagen wollte, ist einfach:
[mm] ||x||=\wurzel{},
[/mm]
wobei $||x||$ die Norm von $x$ ist und $<x,x>$ das Skalarprodukt von x mit sich selbst.
Dieses Skalarprodukt hast du gegeben, das musst du berechnen, und dann musst du nur noch die Wurzel daraus ziehen, dann hast du die Norm.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Achso. Okay also meine erste Frage wir hatten ja auch das Schmidtsche Ortonormierungsverfahren. Da war auch immer [mm] w_1=\bruch{1}{||v_1||}\*v_1
[/mm]
ich hatte das dann allerdings immer so gemacht, da mir das in einem anderen Thread so erklärt wurde, [mm] \wurzel{(v_1)^2} [/mm] aber <x,x> definiert glaube ich das selbe oder?
Okay und das Skalarprodukt ist gegeben durch [mm] =\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}. [/mm] Das verunsichert mich halt. Ich kann da nicht richtig durchsehen. Wie müsste ich das denn machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso. Okay also meine erste Frage wir hatten ja auch das
> Schmidtsche Ortonormierungsverfahren. Da war auch immer
> [mm]w_1=\bruch{1}{||v_1||}\*v_1[/mm]
> ich hatte das dann allerdings immer so gemacht, da mir das
> in einem anderen Thread so erklärt wurde, [mm]\wurzel{(v_1)^2}[/mm]
> aber <x,x> definiert glaube ich das selbe oder?
abgesehen davon, dass Du Variablen durcheinander schmeißt usw.:
Bitte pass' auf, in welchem Vektorraum Du Dich befindest und mit welcher Norm er versehen ist. Im Falle eines gegebenen Skalarproduktes induziert das Skalarprodukt in natürlicher Weise eine Norm, die im Falle eines euklidischen Vektorraum quasi "der Anschauung" entspricht.
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] mit der "üblichen Metrik" versehen (Pythagoras) und dem Skalarprodukt [mm] $=\sum_{k=1}^n x_k*y_k$, [/mm] wobei [mm] $x=(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n)^T$ [/mm] und [mm] $y=(y_1, [/mm] ... [mm] ,y_n)^T$ [/mm] beide [mm] $\in \IR^n$, [/mm] gilt in der Tat:
[mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel=\sqrt{}$ [/mm]
Aber es gibt auch Normen, die nicht in dieser Weise vom Skalarprodukt induziert sind, aber man kann bei einem Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt gegeben ist, diesen eben durch die Definition
[mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel:=\sqrt{}$
[/mm]
mit einer Norm versehen, und diese so definierte Norm nennt man dann die durch das Skalarprodukt induzierte Norm.
> Okay und das Skalarprodukt ist gegeben durch
> [mm]=\integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das verunsichert
> mich halt. Ich kann da nicht richtig durchsehen. Wie müsste
> ich das denn machen?
Es ist ganz einfach:
Wenn Du zwei Polynomfunktionen $p_1$ und $p_2$ gegeben hast, so gilt doch hier (wenn $d$ die durch die Norm induzierte Metrik ist, d.h. $d(f,g)=\parallel f-g \parallel$)):
$d(p_1,p_2)^2=\parallel p_1 -p_2 \parallel^2=\sqrt{<p_1-p_2,p_1-p_2>}^2=<p_1-p_2,p_1-p_2>=\integral_{-1}^{1}{\{(p_1-p_2)(x)\}* \{(p_1-p_2)(x)\} dx}$
$=\integral_{-1}^{1}{\{p_1(x)-p_2(x)\}*\{p_1(x)-p_2(x)\} dx}=\integral_{-1}^{1}{(p_1(x)-p_2(x))^2} dx}$
$p_1(x)$ und $p_2(x)$ in das letzte Integral einsetzen, ausrechnen, fertig.
Also:
$p_1(x)-p_2(x)=4x-x^2$ liefert dann:
$d(p_1,p_2)^2=\integral_{-1}^{1}{(16x^2-8x^3+x^4) dx}$, was Du sicherlich noch weiter berechnen kannst...
Rest analog.
P.S.:
Das, was Du mit $d_{1,2}^2$ bezeichnet hast, habe ich eben in sinnvoller Weise mit $d(p_1,p_2)^2$ bezeichnet 
Der Hintergrund ist eben, dass man jeden normierten Raum (also einen mit einer Norm $\parallel . \parallel$ versehen Vektorraum) durch die Definition $d(x,y):=\parallel x-y \parallel$ mit einer Metrik $d$ versehen kann.
Zusammengefasst also:
Einen mit einem Skalarprodukt versehen Vektorraum kann man zu einem normierten Vektorraum machen, indem man ihn mit der durch das Skalarprodukt induzierten Norm versieht.
Diesen so normierten Raum kann man dann wiederum zu einem metrischen Raum machen, indem man den Vektorraum mit der durch die Norm induzierten Metrik versieht.
Und in diesem Sinne sind mit Skalarprodukt versehene Vektorräume (sogenannte Prähilberträume) besonders "schön"...
(Noch schöner sind die Hilberträume, das wären vollständige Prähilberträume, aber dazu müsste Dir erst der Begriff eines vollständigen metrischen Raumes geläufig sein.)
Im Falle des $\IR^n$ mit dem Skalarprodukt $<x,y>=\sum_{k=1}^n x_k*y_k$ entspricht das alles übrigens "unserer (geometrischen) Anschauung" (vermittels Pythagoras)...
Gruß,
Marcel
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Super verstanden dankeschön. Ich würde jetzt als nächstes das Integral berechnen um auf meine Norm zu kommen. Oder bin ich da auch wieder auf dem Holzweg? und anschließend dann Ober und Untersumme einsetzen. Und dann jeweils Ober- Untersumme. Wie halt nach den Integrationsregeln.
Gruß Domenigge135
Ein bischen Blick ich dort ja jetzt durch. Ich brauch halt nur noch ein bischen Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
was meinst Du mit Ober- und Untersumme?
Um das Quadrat des Abstandes von [mm] $p_1$ [/mm] zu [mm] $p_2$ [/mm] nun zu berechnen, musst Du nur noch Schulmathematik anwenden:
Es folgt mit Stammfunktionbildung
[mm] $d(p_1,p_2)^2=\integral_{-1}^{1}{(16x^2-8x^3+x^4) dx}=\begin{bmatrix} \frac{16}{3}x^3-2x^4+\frac{1}{5}x^5 \end{bmatrix}_{-1}^{1}$
[/mm]
Du musst nun nur noch einsetzen und ausrechnen...
Gruß,
Marcel
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Ist schon erledigt. Ich meinte eigentlich, dass ich das Integral durch bildung der Stammfunktion auflöse und anschließend -1 und 1 einsetze...richtig.
Dann ziehe ich ja, was sich durch das Einsetzen von -1 ergibt von dem was sich durch das Einsetzen von 1 ergibt ab. So rechnet man meiner Meinung nach mit Integralen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ist schon erledigt. Ich meinte eigentlich, dass ich das
> Integral durch bildung der Stammfunktion auflöse und
> anschließend -1 und 1 einsetze...richtig.
> Dann ziehe ich ja, was sich durch das Einsetzen von -1
> ergibt von dem was sich durch das Einsetzen von 1 ergibt
> ab. So rechnet man meiner Meinung nach mit Integralen...
Hallo,
ja, wenn Dir meine Notation bekannt ist, so erkennst Du, dass genau das der nächste Schritt wäre (also alles, was nach dem "Stammfunktion" kommt, denn eine Stammfunktion habe ich ja schon gebildet. Man spricht übrigens besser von einer Stammfunktion oder von der Klasse der Stammfunktionen, denn zu einer Funktion gibt es sehr viele Stammfunktionen (sie unterscheiden sich aber alle nur um eine Konstante, und in diesem Sinne kann man sie alle in eine Klasse packen)).
Nur die Begriffe Ober- und Untersumme haben mich hier verwirrt, die verwendet man eigentlich in einem anderen Sinn z.B. bei der Definition des Riemann-Integrales. Ich dachte mir aber schon fast, dass Du Dich auf diese Art der Rechnung beziehst, es aber sehr unglücklich ausdrückst
Zur Kontrolle könntest Du ja mal angeben, was Du als Ergebnis für [mm] $d_{1,2}^2=d(p_1,p_2)^2$ [/mm] ausgerechnet hast. Wenn Du magst.
Gruß,
Marcel
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Ja gerne. Manche Aufgaben waren nämlich komischer Weise falsch. Wobei man ja beim einsetzen nichts falsch machen kann.
Also als Stammfunktion hattest du ja jetzt raus:
[mm] \bruch{16}{3}x^3-2x^4+\bruch{1}{5}x^5
[/mm]
Hier setze ich jetzt jeweils 1 und -1 ein. Wobei ich das Ergebnis von -1 von dem Ergebnis von 1 subtrahiere.
für 1 ergibt sich:
[mm] \bruch{16}{3}-2+\bruch{1}{5}=\bruch{80}{15}-\bruch{30}{15}+\bruch{3}{15}=\bruch{53}{15}
[/mm]
für -1 ergibt sich:
[mm] -\bruch{16}{3}-2-\bruch{1}{5}=-\bruch{80}{15}-\bruch{30}{15}-\bruch{3}{15}=-\bruch{113}{15}
[/mm]
Also ergibt sich für [mm] d^2_1_,_2:
[/mm]
[mm] \bruch{53}{15}-(-\bruch{113}{15})=\bruch{166}{15}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ja gerne. Manche Aufgaben waren nämlich komischer Weise
> falsch. Wobei man ja beim einsetzen nichts falsch machen
> kann.
>
> Also als Stammfunktion hattest du ja jetzt raus:
>
> [mm]\bruch{16}{3}x^3-2x^4+\bruch{1}{5}x^5[/mm]
>
> Hier setze ich jetzt jeweils 1 und -1 ein. Wobei ich das
> Ergebnis von -1 von dem Ergebnis von 1 subtrahiere.
>
> für 1 ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{16}{3}-2+\bruch{1}{5}=\bruch{80}{15}-\bruch{30}{15}+\bruch{3}{15}=\bruch{53}{15}[/mm]
>
> für -1 ergibt sich:
>
> [mm]-\bruch{16}{3}-2-\bruch{1}{5}=-\bruch{80}{15}-\bruch{30}{15}-\bruch{3}{15}=-\bruch{113}{15}[/mm]
>
> Also ergibt sich für [mm]d^2_1_,_2:[/mm]
>
> [mm]\bruch{53}{15}-(-\bruch{113}{15})=\bruch{166}{15}[/mm]
Hallo Domenigge,
das Ergebnis habe ich auch heraus. Man kann schon beim Einsetzen was falsch machen, das sind aber meist Flüchtigkeitsfehler wie Vorzeichenfehler. Stimmt das Ergebnis nicht mit dem aus der Musterlösung überein? Bzw. bei welchen Rechnungen hast Du andere Werte raus, als die Lösung vorschlägt?
Gruß,
Marcel
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Na nehmen wir mal z.B. eine mit Brüchen. Diese waren überwiegend falsch. Vielleicht mach ich was mit den Brüchen falsch. Kann aber eigentlich damit umgehen!!!
[mm] p_1=x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] p_2=\bruch{1}{3}x^2+\bruch{3}{2}x+1
[/mm]
[mm] ||p_1-p_2||^2=||x^2+\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}-(\bruch{1}{3}x^2+\bruch{3}{2}x+1)||^2=||\bruch{3x^2}{3}+\bruch{1x}{2}+\bruch{3}{2}-(\bruch{1x^2}{3}+\bruch{3x}{2}+\bruch{2}{2}||^2=||\bruch{2}{3}x^2-2x+\bruch{1}{2}||^2=\bruch{4}{9}x^4-\bruch{8}{3}x^3+\bruch{28}{6}x^2-\bruch{4}{2}x+\bruch{1}{4}
[/mm]
Die Stammfunktion lautet:
[mm] \bruch{4}{45}x^5-\bruch{8}{12}x^4+\bruch{28}{18}x^3-\bruch{4}{4}x^2+\bruch{1}{4}x
[/mm]
für 1 ergibt sich:
[mm] \bruch{41}{180}
[/mm]
für -1 ergibt sich:
[mm] -\bruch{641}{180}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{41}{180}-(-\bruch{641}{180})=\bruch{682}{180}... [/mm] Ja gut kann man noch kürzen...Aber was solls ist halt falsch...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Do 10.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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