Berechnung dieses Integrals? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Billy003 |
| Aufgabe | Hi Leute,
habe irgendwie Probleme mit der Berechnung des folgenden Integrals:
[mm] \integral_{K}{x^{2} d(x,y,z)}, [/mm] wobei [mm] K=\{(x,y,z)\in \IR^3 : 0\le z \le sin(x^{2}+y^{2}) und x^{2}+y^{2}\le \pi }
[/mm]
Grundsätzlich weiß ich wie man mehrdimensional integriert mit Satz von Fubini etc.
Mein Problem sind in diesem Fall nur die Grenzen
wenn man nach z integriert läuft der Index von 0 bis [mm] sin(x^{2}+y^{2}), [/mm] wenn man nach x integriert bzw. nach y bekomme ich leichte probleme, warum auch immer , oder integriert man dann von 0 bis pi und von 0 bis Wurzel aus [mm] pi-y^2 [/mm] ?
Wäre sehr nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet :)
Liebe Grüße,
Billy003
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Berechnung dieses Integrals?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich denke, du solltest das Integral in Zylinderkoordinaten transformierern. Dann ist das
[mm] $\integral_0^{2\pi} d\phi \integral_0^{\wurzel{\pi}} [/mm] dr [mm] \integral_0^{\sin(r^2)}dz [/mm] *r$
Das letzte r kommt von der Transformation.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Billy003 |
Hi und erst einmal vielen lieben Dank für die Antwort.
wollte fragen wie genau diese Transformation funktioniert??
komme damit nicht so gut klar.
Liebe Grüße,
Billy003
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Erstmal zu der Mitteilung:
Die Notation stimmt schon!
Naja, normalerweise macht man das dr schon ganz ans Ende. Aber hier hast du drei Integrale ineinander, und damit man weiß, welches Integral mit seinen Grenzen zu welcher Variablen gehört, schreibt man die Variable direkt dahinter.
Man kann das ganze auch wie gewohnt machen, und dann große Klammern um die einzelnen Integrale setzen.
Aber auch so widerspricht das NICHT den GEsetzen der Mathematik. Ein Integral ist sowas wie eine Summe, und da Punkt vor Strich gilt, ist egal, was dahinter steht, das Integral geht immer bis zum nächten +/- etc.
Mit dem Intergal hat MatthiasKr recht, ich habe das x² übersehen. Das ist ja [mm] $r^2\cos^2\phi$, [/mm] also insgesamt
[mm] \integral_0^{2\pi} d\phi \integral_0^{\wurzel{\pi}} [/mm] dr [mm] \integral_0^{\sin(r^2)}dz \cdot{}r^3\cos^2\phi
[/mm]
Dummerweise wird nach der z-Integration der Integrand zu [mm] \sin(r^2)\cdot{}r^3\cos^2\phi [/mm] . Das cos² findet man noch in Tabellen, aber die Integration nach dem r wird schon trickreich.
Um nochmal auf das r zurückzukommen. Man schreibt hin, wie die karthesischen Koordinaten aus den Zylinderkoordinaten hervorgehen:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{r*cos\phi\\r*sin\phi\\z}$
[/mm]
Vom rechten Teil bildet man die ![[]](/images/popup.gif) Jacobi-Matrix, das ist eine Ableitung aller Komponenten nach allen Variablen r, [mm] \phi [/mm] , z
[mm] J=\pmat{cos\phi & -sin\phi & 0\\ rsin \phi & rcos \phi & 0\\0&0&1}
[/mm]
Die Spalten der Matrix geben dir an welche Richtung und wie weit du dich in karthesischen Koordinaten bewegst, wenn du entlang r, [mm] \phi [/mm] oder z läufst.
Oder anders: wenn du dir ein Volumenelement [mm] $drd\phi [/mm] dz$ anschaust, so geben dir die Spalten von J, multipliziert mit jeweils $dr, [mm] d\phi [/mm] , dz$ die karthesischen Vektoren an, die die Ränder des Volumens bilden.
In so einem Fall gibt die Determinante der Matrix das Volumen selbst an! Und |J|=r.
Das bedeutet, du mußt [mm] $drd\phi [/mm] dz$ noch einmal mit r multiplizieren, damit du das wahre Volumen herausbekommst.
Ich geb's zu, das ist jetzt etwas Kraut und Rüben gewesen, aber letztendlich funktioniert das so. Umrechnung hinschreiben, Jacobimatrix und Jacobideterminante berechnen, und den Betrag der Jacobideterminante mit in das Integral nehmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Do 14.12.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Horizon,
> Ich denke, du solltest das Integral in Zylinderkoordinaten
> transformierern. Dann ist das
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} d\phi \integral_0^{\wurzel{\pi}} dr \integral_0^{\sin(r^2)}dz *r[/mm]
>
Vielleicht verstehe ich deine notation auch nicht, aber das $r$ sollte schon ins integral,hmm? außerdem fehlt meines erachtens noch der integrand [mm] ($x^2$), [/mm] der in zylinder bzw. polarkoordinaten ausgedrückt werden muss.
Gruß
Matthias
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