Berechnung eines Integrals < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welchen Wert haben die folgenden Summen:
b) [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos^{2} \bruch{x}{2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{\pi}^{0}{sin^{2} \bruch{x}{2}dx} [/mm] |
Moin,
ich kann die Grenzen vertauschen, somit wird aus dem + ein -.
Dann kann ich alles hinter ein Integralzeichen schreiben:
[mm] -\integral_{\pi}^{0}{\left(cos^{2}\bruch{x}{2} + sin^{2}\bruch{x}{2}\right) dx}
[/mm]
nun komm ich irgendwie nicht weiter.
hat das vll. mit dem trigonometrischen Phythagoras zu tun??
mfg, Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hall DJHighlife!
Die Idee mit dem Vertauschen der Integrationsgrenzen ist gut. Jedoch ist die Ausführung fehlerhaft. Es muss heißen:
$$... \ = \ [mm] \integral_0^{\pi}{\cos^2\left(\bruch{x}{2}\right)-\sin^2\left(\bruch{x}{2}\right) \ dx}$$
[/mm]
Wende nun folgendes ![[]](/images/popup.gif) Additionstheorem:
[mm] $$\cos^2(z)-\sin^2(z) [/mm] \ = \ [mm] \cos(2*z)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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ok, dann bin ich jetzt bei:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos\left(2\bruch{x}{2}\right) dx}
[/mm]
entweder stell ich mich jetzt dumm an, aber ich weis auch jetzt schon wieder nicht wie ich weiter machen soll...
jetzt brauche ich ja eine funktion, die abgeleitet:
[mm] cos\left(2\bruch{x}{2}\right)
[/mm]
ergibt. (Stammfunktion F(x) oder?)
und wenn ich die habe rechne ich: [mm] F(\pi) [/mm] - F(0)
und eine weitere Frage:
Ich kann diesen Additionstheorem leider nicht in meiner Formelsammlung finden. Kann man die Aufgabe dann auch anderst lößen?
mfg, Michael
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also wenn ich dich richtig verstanden habe, soll ich [mm] 2\bruch{x}{2} [/mm] ersteinmal als x behandeln und dann später wieder [mm] 2\bruch{x}{2} [/mm] einsetzen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo DjHighlife!
> also wenn ich dich richtig verstanden habe, soll ich
> [mm]2\bruch{x}{2}[/mm] ersteinmal als x behandeln und dann später
> wieder [mm]2\bruch{x}{2}[/mm] einsetzen?!
Nee, warum auch?! ... 2 halbe Äpfel sind doch immer soviel wie ein ganzer Apfel.
Gruß
Loddar
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sry sry!
man kann ja kürzen, das hab ich vollkommen übersehen!
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x) dx}=
[/mm]
[mm] \left[sin(x)\right]_{0}^{\pi}=
[/mm]
[mm] sin(\pi) [/mm] - sin(0)=
0,0548
ich hoffe das stimmt.....nun fühl ich mich doof...kürzen vergessen :/
mfg, Michael
danke für deine hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
Du musst den Taschenrechner auf "Bogenmaß" umstellen, denn es gilt:
[mm] $$\sin(\pi) [/mm] \ = \ [mm] \sin(180°) [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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