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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Berechnung eines Integrals
Berechnung eines Integrals < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Berechnung eines Integrals: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Sa 09.06.2012
Autor: Paul88

Aufgabe
Berechnen Sie das Integral

\int_{|z|=3} (1+z+z^2)*(e^\frac{1}{z}+e^\frac{1}{\left z-1 \right}+e^\frac{1}{\left z-2 \right})\,\mathrm dz.

Hierbei ist der Kreis gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Leider habe ich keinen Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen könnte und würde mich sehr über einen Tipp freuen!

Danke und viele Grüße,

Paul88
        
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Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:40 So 10.06.2012
Autor: leduart

Hallo
wie ist denn ein komplexes Integral definiert ? und wie parametrisierst du den kreis |z|=3?
gruss leduart
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Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 So 10.06.2012
Autor: fred97

Das riecht nach Residuensatz

FRED
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Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 So 10.06.2012
Autor: Paul88

@ leduart: Eine Parametrisierung des Kreises wäre doch durch  \gamma(t)=3*e^{it} gegeben?

@ Fred: Ich erkenne noch nicht so ganz den Zusammenhang zwischen dem 1. und 2. Faktor bzw. der 1. und 2. Klammer, außer, dass die Exponenten der ersten Klammer den Polstellen der Exponenten in der zweiten Klammer entsprechen.
Ich hab mit diesem Residuenthema noch so ein bisschen meine Schwierigkeiten und wäre über jeden weiteren Ansatz bei der Aufgabe dankbar...

Gruß,
Paul88
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Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:46 Mo 11.06.2012
Autor: korbinian

Hallo,
der Zusammenhang der beiden Faktoren wird erst später wichtig.
Vorerst kürze 1. Faktor mit p(z) ab; dann ausmultiplizieren. Nun hat man Summe mit 3 Summanden der Form p(z)exp(1/(z-a)). Daraus 3 Integrale machen. Kannst Du nun den Residuuensatz auf jedes der 3 Integtale anwenden?
Gruß korbinian
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Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Di 12.06.2012
Autor: Paul88

Vielen Dank für deine Hilfe!

Aber jetzt muss ich ja das Residuum von p(z)*e^(1/z) für das erste Integral bestimmen, also brauche ich doch hier jetzt den 1. Faktor oder nicht? die Laurentreihe für e^(1/z) wäre doch dann \sum_{- \infty}^0 \frac {1}{(-n)!}*z^n, aber mit der allein kann ich ja nicht das Residuum von p(z)*e^(1/z) bestimmen...
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Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 12.06.2012
Autor: fred97


> Vielen Dank für deine Hilfe!
>  
> Aber jetzt muss ich ja das Residuum von p(z)*e^(1/z) für
> das erste Integral bestimmen, also brauche ich doch hier
> jetzt den 1. Faktor oder nicht? die Laurentreihe für
> e^(1/z) wäre doch dann \sum_{- \infty}^0 \frac {1}{(-n)!}*z^n,
> aber mit der allein kann ich ja nicht das Residuum von
> p(z)*e^(1/z) bestimmen...

Na klar kannst Du das !

Schreib Dir doch die Laurententwicklung von p(z)*e^(1/z) mal hin. Sie hat die gestalt:

   [mm] az^2+bz+c+\bruch{c_1}{z}++\bruch{c_2}{z^2}++\bruch{c_3}{z^3}+.... [/mm]

Das gesuchte Residuum = [mm] c_1. [/mm]

FRED

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Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Di 12.06.2012
Autor: Paul88

Ok, vielen Dank, da stand ich wohl etwas auf dem Schlauch! :)

Dann wäre ja aber das Residuum für die letzten beiden Integrale p(z) selbst und würde damit von z abhängen, oder?
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Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Di 12.06.2012
Autor: korbinian

Hallo,
bei diesen Integralen musst Du die Laurentreihe um die Punkte 1 bzw 2 entwickeln.
Gruß korbinian
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Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Di 12.06.2012
Autor: Paul88

Ja, das habe ich ja so versucht... dann hat man ja für 1 z.B. die Reihe f_2(z)=\sum_{-\infty}^0 \frac{1}{-n!}*(z-1)^n und wenn ich dann wie oben das Residuum von p(z)*f_2(z) bestimmen möchte, müsste das doch dann eigentlich p(z) selbst sein...
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Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Di 12.06.2012
Autor: korbinian

Hallo,
> Ja, das habe ich ja so versucht... dann hat man ja für 1
> z.B. die Reihe

f_2(z)=\sum_{-\infty}^0 \frac{1}{(-n)!}*(z-1)^n     ok!
> und wenn ich dann wie oben das Residuum von p(z)*f_2(z)
> bestimmen möchte, müsste das doch dann eigentlich p(z)
> selbst sein...

Diesen Einwand verstehe ich nicht; aber Du hast recht: wir machen es analog zu oben.
Dazu "passen" wir p(z) dem Entwicklungspunkt [mm] z_{0} [/mm] =1 "an":
[mm] p(z)=(z-1)^{2}+3(z-1)+3. [/mm]
Jetzt wie oben.
Und mit mit [mm] z_{0} [/mm] =2 das ganze Theater nochmals analog.
Gruß korbinian

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Berechnung eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Di 12.06.2012
Autor: Paul88

Aaaaah, ok, vielen Dank! Das hat mir wirklich sehr weitergeholfen!!!

Und kann man dann sagen, dass die Windungszahlen bei den 3Integralen jeweils 1 sind, da der Kreis die drei Punkte jeweils einmal umläuft oder irre ich mich da und man muss es doch noch ausrechnen?

Gruß,

Paul88
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Berechnung eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Di 12.06.2012
Autor: korbinian

Hallo

> Und kann man dann sagen, dass die Windungszahlen bei den
> 3Integralen jeweils 1 sind, da der Kreis die drei Punkte
> jeweils einmal umläuft

Richtig
Gruß korbinian

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Berechnung eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 Di 12.06.2012
Autor: Paul88

Vielen, vielen Dank nochmal!
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