Berechnung eines Punktes < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:52 Di 02.01.2007 | | Autor: | Erbse |
| Aufgabe | 1)
Gegeben ist das Schaubild K der Funktion f mit f(x)=3/X und für jedes m E R eine Gerade g von m :y=mx+3
Bestimmen Sie diejenige der Geraden g von m, die mit K genau einen gemeinsamen Punkt B hat; berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.
2)
Die Mittellinie der gezeichneten Rennstrecke wird durch y=4-(1/2)x² beschrieben. Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fahrzeug und landet im Punkt Y(0|6) in den Strohballen. Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen?
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Hallo,
Ich verstehe die vorgehensweiße bei diesen Problemen nicht.
Ich weiß, dass man zur Berechnung einen Hilfspunkt braucht komme aber trotzdem nicht weiter.
Mfg Erbse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Di 02.01.2007 | | Autor: | Disap |
Hi Erbse.
> 1)
> Gegeben ist das Schaubild K der Funktion f mit f(x)=3/X
> und für jedes m E R eine Gerade g von m :y=mx+3
> Bestimmen Sie diejenige der Geraden g von m, die mit K
> genau einen gemeinsamen Punkt B hat; berechnen Sie die
> Koordinaten dieses Punktes.
Wie berechnet man denn prinzipiell die Schnittpunkte von Funktionen? Indem man sie gleichsetzt.
[mm] $\br{3}{x} [/mm] = mx+3$
Versuch doch mal, diese "Gleichung" zu lösen und dann zu interpretieren, wann es nur eine Lösung gibt.
Rein spontan, wenn m=0 ist, dann hätten wir
[mm] $\br{3}{x} [/mm] = 3$ multipliziert mit x (Schritt 1)
$3 = 3x$
Hier gibt es nur eine Lösung.
Aber vielleicht gibt es noch eine andere Lösung (außer m=0). Probiers aus und melde dich dann noch einmal!
> 2)
> Die Mittellinie der gezeichneten Rennstrecke wird durch
> y=4-(1/2)x² beschrieben. Bei spiegelglatter Fahrbahn
> rutscht ein Fahrzeug und landet im Punkt Y(0|6) in den
> Strohballen. Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen?
Skizzier dir das ganze doch einmal. Zeichne der Einfachheithalber nur die Normalparabel [mm] x^2 [/mm] auf und nimm einen anderen fiktiven Punkt, wo das Auto landen soll. Zunächst einmal fährt das Auto auf der Parabel und fliegt dann aus der Kurve (direkt in den Punkt Y), d. h. wir brauchen eine zunächst eine Hilfsgerade (Tangente), die die Parabel tangiert (=berührt) und durch den Punkt Y geht.
Für die Tangente g(x) gilt
g(x) = mx+b
f'(x) = m Hiermit ist das m von der Tangente gemeint. Tangente und Funktion haben dieselbe Steigung. Und dann hast du noch einen Punkt, was reichen sollte, die Tangentengleichung aufzustellen
> Ich verstehe die vorgehensweiße bei diesen Problemen
> nicht.
>
> Ich weiß, dass man zur Berechnung einen Hilfspunkt braucht
> komme aber trotzdem nicht weiter.
MfG
Disap
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Di 02.01.2007 | | Autor: | Erbse |
zu 2)
Hallo,
Ich habe jetzt folgende Gleichung herraus:
y= -1/2 u² -2
---------- *x+6
u
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 02.01.2007 | | Autor: | Elph |
Hallo und ein frohes neues Jahr!
Ich glaube, ich verstehe dein Problem: Ihr hattet noch nicht die Ableitungsfunktionen, stimmt's? Dann wäre die Lösung nämlich einfacher:
Die erste Ableitung ist ja die Steigung in dem Punkt, den wir suchen. Die erste Ableitung von f(x) ist f'(x) = -x. Die gesuchte Tangente hat die Form g:y = mx + 6 (das kann man mit dem Punkt (0|6) ausrechnen). m ist die Steigung, und die ist ja, wie wir von f'(x) wissen, -x. Man setzt also für m -x ein und setzt die Tangente mit der Funktion gleich:
[mm] -x^2 [/mm] + 6 = 4 - [mm] 0,5x^2
[/mm]
Als Lösung erhält man x = [mm] \pm2.
[/mm]
Schau jetzt auf deine Skizze: Nur -2 kann als Lösung in Frage kommen.
Jetzt nur noch y-Koordinate ausrechnen und fertig.
Aber ich glaube, die Ableitungsfunktion hattet ihr noch nicht, oder? Ich weiß aber nicht, wie man das ohne lösen solltet *sry*
Gruß Elph
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 02.01.2007 | | Autor: | Erbse |
Ok Danke.
Wenn ich jetzt noch wüsste wie ich auf das f'(x) = -x komme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 02.01.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, das Problem bei b) ist ja, dass man eine Tangente an die Parabel finden muss, die auch durch Y(0|6) geht.
Wegen dem Punkt kennst du auch den y-Achsenabschnitt der Tangente - nämlich 6.
Also muss sie irgendwie so aussehen: t: y=mx+6.
Und nun musst du diese Tangente und die Parabel gleichsetzen, damit du später sagen kannst, wann genau ein Schnittpunkt zwischen Parabel und Gerade vorhanden ist.
[mm] -(\bruch{1}{2})x²+4=mx+6
[/mm]
[mm] -(\bruch{1}{2})x²-mx-2=0
[/mm]
x²+2mx+4=0
[mm] x_{1;2}=-m\pm\wurzel{m²-4}
[/mm]
Es gibt nur einen Schnittpunkt, wenn unter der Wurzel 0 rauskommt!
m²-4=0
m²=4
[mm] m=\pm [/mm] 2
Damit hast du deine 2 Tangenten [mm] t_1: [/mm] y=2x+6 und [mm] t_2: [/mm] y=-2x+6, die jetzt aber eher noch unwichtig sind, da du ja nur die Stelle herausfinden sollst, an der das Fahrzeug rausgefallen ist.
Und wenn du dir den Teil der p-q-Formel nimmst
[mm] x_{1;2}=-m\pm\wurzel{m²-4}
[/mm]
Und für m die 2 und -2 einsetzt, erhälst du für x auch [mm] \pm [/mm] 2.
Kommt halt drauf an, von wo der Fahrer gekommen ist. Wenn er von links gekommen ist, ist er bei x=-2 rausgeflogen. Von rechts, ist er bei x=2 rausgeflogen!
Ok, und das f'(x)=-x gibt die Steigung der Parabel an einer Stelle x an, aber das wirst du sicher noch lernen ;)
Wenn du also wissen willst, welchen Anstieg die Parabel bei x=1 hat, setzt du die 1 für das x ein und erhälst m=-1. Das nur so nebenbei :P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Erbse |
Hallo,
Ich glaube ich habe das jetzt soweit verstanden.
Nur wenn ich x und m in die Gleichungen einsetze kommt immer etwas Verschiedenes raus:
y=m*x+c=-2*-2+6=10
und
$ [mm] y=4-\bruch{1}{2}\cdot{}x²= 4-\bruch{1}{2}\cdot{}4=2 [/mm] $
eigentlich müsste doch überall dasselbe herauskommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Fr 05.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> Hallo,
>
> Ich glaube ich habe das jetzt soweit verstanden.
>
> Nur wenn ich x und m in die Gleichungen einsetze kommt
> immer etwas Verschiedenes raus:
>
> y=m*x+c=-2*-2+6=10
> und
> [mm]y=4-\bruch{1}{2}\cdot{}x²= 4-\bruch{1}{2}\cdot{}4=2[/mm]
>
>
> eigentlich müsste doch überall dasselbe herauskommen?
>
also, ohne mich nun tiefer mit der aufgabe zu beschäftigen...
wenn
x= -m sein soll, dann folgt daraus, dass wenn m=-2 ist x=+2 ist...
y=m*x+c=-2*(+2)+6=2.
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Erbse |
Hallo,
Ich habe herausgefunden, das m positiv und x negativ(oder umgekehrt) sein müssen.
Vielen Dank für eure Bemühungen ich habe die Aufgabe jetzt endlich verstanden.
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