Berechnung eines Summenzeichen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Kalka |
| Aufgabe | Berechne
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
für alle n (element. d. nat. Zahlen) >= 2. |
Hallo Zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zunächst einmal hoffe ich, dass ich hier das richtige Unterforum getroffen habe. Diese Aufgabe macht mir zur Zeit etwas Schwierigkeiten, mit diesen Summenzeichen bin ich noch nicht so vertraut.
Ich bin mir nicht sicher ob es hier eine Möglichkeit gibt, das Summenzeichen in mehrere Summenzeichen zu zerlegen, wie man es bei "Summen innerhalb des Summenzeichens" machen kann.
Allerdings glaube ich nicht das dies geht.
Meine erste Idee war es, den Binomialkoeffizienten mit der Formel darzustellen. Dann kann auch das "k" vor dem Binomialkoeff. in den Bruch geschrieben werden und sowas sollte herauskommen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{n!}{(k-1)!(n-k)!}
[/mm]
Dann hat man ja zunächst ein Faktor, welcher das Vorzeichen des akt. Summanden umdreht und der zweite Faktor ist dann der Binomialko. multipliziert mit dem Laufindex.
Jetzt weiß ich allerdings nicht genau, inwie weit mich das weiter gebracht hat. Als Lösung sollte ich doch eigentlich einen Term ohne Summenformel erhalten, oder?
Viele Grüße,
Kalka
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Hallo Kalka,
deine Idee ist vielleicht nicht schlecht, wird dich aber vermutlich nicht weiter bringen. Es ist sinnvoller sich über den Binomialkoeffizienten Gedanken zu machen. Es existiert glücklicher Weise ein nutzbarer Zusammenhang bei diesem:
[mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n \\ n-k}
[/mm]
Nun sollte es dir gelingen die Summe in zwei Summen zu schreiben bzw. aufzuspalten (eine die bis [mm] \(\frac{n}{2}\) [/mm] und eine die bis [mm] \(n\) [/mm] geht). Wenn du die genau ansiehst - so vermute ich mal - heben die sich teilweise oder sogar vollständig auf.
Viel Erfolg beim Probieren,
pi-roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 29.10.2009 | | Autor: | Kalka |
Hallo pi-roland,
vielen Dank für deine Antwort. Ich denke ich habe die Idee von deinem Tipp soweit verstanden. Also habe ich mal die Summe in zwei Summen gespalten:
[mm] \summe_{k=1}^{\bruch{n}{2}}(-1)^{k}k\vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=\bruch{n}{2}+1}^{n}(-1)^{k}k\vektor{n \\ k}
[/mm]
Durch ausprobieren habe ich auch herausbekommen, dass da immer 0 heraus kommt. Das macht auch eigentlich Sinn, wenn man sich mal für ein paar n's die Summanden einzeln hinschreibt.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich aus dem obrigen Term auf das Ergebnis 0 komme. Ich müsste ja zeigen, dass der zweite Summand (zweites Summenzeichen) gleich dem ersten Summand *(-1) ist.
Aber wie genau kann man das anstellen?
Eine andere Idee war es von mir, das ganze mittels Vollständiger Induktion zu beweisen, allerdings wusste ich da auch nicht wirklich weiter.
Ich würde mich sehr pber weitere Antowrten freuen.
Viele Grüße,
Kalka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du die SummeenDarstellung von [mm] (1-x)^n
[/mm]
dann differenzier mal die Summe und [mm] (1-x)^n
[/mm]
für welches x steht deine Summe?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 29.10.2009 | | Autor: | Kalka |
Hallo,
jemand von der Uni hatte es mir auch mit Ableitung erklärt - allerdings hatten wir in den Vorlesungen noch gar keine Ableitungen besprochen :/
Ich habe es trotzdem mal mit deinem Ansatz versucht. Die Summenformel für [mm] (1-x)^n [/mm] habe ich mir anhand der Binomischen Summenformel hergeleitet.
[mm] (1-x)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} 1^{n-k}x^{k}\vektor{n \\ k}
[/mm]
[mm] (1-x)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} 1x^{k}\vektor{n \\ k}
[/mm]
und abgeleitet:
[mm] -n(1-x)^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} kx^{k-1}\vektor{n \\ k}
[/mm]
Jetzt kann man noch versuchen das [mm] x^{k-1} [/mm] in ein [mm] x^{k} [/mm] zu wandeln:
[mm] -n(1-x)^{n-1} [/mm] = [mm] (x)\summe_{k=0}^{n} kx^{k}\vektor{n \\ k}
[/mm]
So, wenn man das nun auf meinen Ursprungsterm zurückführen will, welcher lautete:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}k\vektor{n \\ k}
[/mm]
muss man das x durch (-1) ersetzen, oder? Dann sollte folgendes herauskommen:
[mm] -n(1-(-1))^{n-1} [/mm] = [mm] (-1)\summe_{k=0}^{n} k(-1)^{k}\vektor{n \\ k}
[/mm]
[mm] 2n^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} k(-1)^{k}\vektor{n \\ k}
[/mm]
Stimmt das alles soweit? Oder habe ich hier einen Fehler gemacht? Aber wie geht es weiter?
Viele Grüße,
Kalka
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Hallo nochmal,
meinen obigen Ansatz kann man sicher vergessen. Hab nochmal drüber nachgedacht und komme auch nicht weiter, wenn ich die Summe aufspalte. Mit diesem hier wirst du mehr Erfolg haben.
Aber der binomische Satz lautet etwas anders:
[mm](1+x)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} 1^{n-k}x^{k}\vektor{n \\ k}[/mm]
[mm](1+x)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{k}\vektor{n \\ k}[/mm]
und abgeleitet:
[mm]n(1+x)^{n-1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} kx^{k-1}\vektor{n \\ k}[/mm]
> Jetzt kann man noch versuchen das [mm]x^{k-1}[/mm] in ein [mm]x^{k}[/mm] zu
> wandeln:
Das stimmt soweit, musst es halt für die richtige Gleichung machen und möglichst auch richtig, da vor die Summe ein [mm] \(\frac{1}{x}\) [/mm] gehört (macht aber für das Endergebnis keinen Unterschied).
[mm]n(1+x)^{n-1} = \frac{1}{x}\summe_{k=0}^{n} kx^{k}\vektor{n \\ k}[/mm]
In sofern, sorry, stimmte leider nicht alles, aber du warst nah dran.
Wie du die Summe letztenendes in eine Summe, die bei [mm] \(k=1\) [/mm] los geht, umwandelst, sollte dir auch keine Schwierigkeiten mehr bereiten.
Und dann bist du ja fertig.
Viel Erfolg,
pi-roland.
PS: Dass du [mm] \(x=-1\) [/mm] setzen musst, hast du ja schon geschrieben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>schen Summenformel hergeleitet.
>
> [mm](1-x)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} 1^{n-k}x^{k}\vektor{n \\ k}[/mm]
Das ist noch falsch. statt [mm] x^k [/mm] steht da [mm] (-x)^k=(-1)^k*x^k
[/mm]
dann kommst du auch auf die gegebene Formel.
später dann x=1 setzen
> und abgeleitet:
>
> [mm]-n(1-x)^{n-1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} kx^{k-1}\vektor{n \\ k}[/mm]
auch hier verbessern.
>
> Jetzt kann man noch versuchen das [mm]x^{k-1}[/mm] in ein [mm]x^{k}[/mm] zu
> wandeln:
>
> [mm]-n(1-x)^{n-1}[/mm] = [mm](x)\summe_{k=0}^{n} kx^{k}\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> So, wenn man das nun auf meinen Ursprungsterm
> zurückführen will, welcher lautete:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k}k\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> muss man das x durch (-1) ersetzen, oder? Dann sollte
> folgendes herauskommen:
>
> [mm]-n(1-(-1))^{n-1}[/mm] = [mm](-1)\summe_{k=0}^{n} k(-1)^{k}\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> [mm]2n^{n-1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} k(-1)^{k}\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> Stimmt das alles soweit? Oder habe ich hier einen Fehler
> gemacht? Aber wie geht es weiter?
leider am Anfang falsch. aber dein Vorgehen ist richtig.
wenn du da x-1 hast darfst du nicht -1 einsetzen, sondern +1, dann ist die linke Seite 0, und damit auch die rechte Seite.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Kalka |
Hey,
okay jetzt hab ich alles soweit verstanden, also vielen Dank an euch beiden :)
Viele Grüße, Kalka
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